Принцип арифметической средины

Для математической обработки результатов геодезических измерений и их оценки необходимо иметь, согласно равенству (2), ряд измерений 1 одной и той же величины Х, принятой за истинное значение. Однако в геодезической практике сравнительно редки случаи, когда истинное значение измеряемой величины заранее известно. В то же время, как отмечалось выше, главнейшей задачей теории погрешностей является определение наиболее достоверного значения измеряемой величины и оценка точности конечного результата.

Пусть дан ряд измерений 1₁, 1₂, 1₃,.. ., 1_n одной и той же величины Х, выполненных при одинаковых условиях. Даны также значения случайных погрешностей этих измерений ₁, ₂, ₃,.. ., _n.

На основании формулы (2) можно записать систему равенств.

• 1 = 1₁ — Х
• 2 = 1₂ — Х
• 3 = 1₃ — Х

_n = 1_n — Х Сложив почленно левые и правые части этих равенств, получим.

₁ + ₂ + ₃ +. .. +_n = 1₁ + 1₂ + 1₃. .. + 1_n — Х n.

или по общепринятому обозначению (5).

= 1 — Х n. (7).

Разделив это равенство на число измерений n, получим.

. (8).

Согласно четвертому свойству случайных погрешностей левая часть этого равенства будет равна 0 при неограниченном числе измерений.

Тогда равенство (8) запишется в следующем виде.

. (9).

Следовательно, среднее арифметическое из результатов измерений стремится к истинному значению при неограниченном числе измерений определяемой величины.

Обозначим среднее арифметическое через х₀ и запишем.

. (10).

Среднее арифметическое число называется арифметической срединой.

Итак, арифметическая средина из результатов измерений является самым надежным и достоверным значением искомой величины и практически равным истинному значению, то есть.

Iim х_о = X (11).

при n ?

Однако в действительности число измерений всегда ограничено и равенство (11) не сохраняется, то есть.

х_о Х Отсюда имеем:

= х_о — Х, (12).

где — случайная погрешность арифметической средины.

Таким образом, при конечном числе измерений арифметическая средина будет нести в себе некоторую погрешность, которая войдет в значения случайных погрешностей данного ряда измерений,.

— = 1 — х_о. (13).

Обозначим левую часть равенства (13) через.

= - х_о. (14).

Тогда будем иметь.

= 1 — х_о, (15).

где — вероятнейшая погрешность арифметической средины.

Как видно из вышесказанного, вероятнейшая погрешность состоит из истинных случайных погрешностей измерений и постоянной погрешности арифметической средины со свойствами случайной погрешности. Поэтому вероятнейшие погрешности носят случайный характер, обладают всеми свойствами истинных погрешностей и могут использоваться в математической обработке результатов измерений. Кроме того, вероятнейшая погрешность обладает еще одним очень важным свойством.

Пусть имеем ряд измерений: 1₁, 1₂, 1₃,.. ., 1_n.

Учитывая зависимость (10) и (15), можно написать n равенств.

• 1 = 1₁ — х_о
• 2 = 1₂ — х_о
• 3 = 1₃ — х_о

_n = 1_n — х_о

Сложив почленно левые и правые части этих равенств, получим.

= 1 — n х_о

или с учетом равенства (10).

. (16).

Отсюда следует, что сумма вероятных погрешностей при любом числе измерений равна 0.