Средняя квадратическая погрешность функции общего вида Z = f (x1, x2, x3,. .. ., xn) и средняя квадратическая погрешность по разностям двойных измерений

Средняя квадратическая погрешность функции общего вида.

Z = f (x₁, x₂, x₃,. .. ., x_n).

Чтобы найти среднюю квадратическую погрешность функции общего вида, запишем ее в следующем виде.

Z+z = f (x₁+x₁, x₂+ x₂, + … + x_n + x_n), (46).

где z — истинная погрешность функции, x — истинная погрешность аргументов.

Так как истинная погрешность аргумента сравнительно мала, то полученное выше равенство можно разложить по строке Тейлора, ограничиваясь членами 1-го порядка.

.

z = K₁ ^. x₁ + K₂ ^. x₂ + …+ K_n ^. x_n,.

частные производные данные функции, вычисленные для соответствующих значений аргументов. Для данной функции это постоянные числа.

Полученное равенство аналогично линейной функции и, следовательно, для него правомерна зависимость (41). Поэтому, подставляя в него на место К₁, К₂, К₃,... К_n их значения для данной функции, получим.

.

(47).

то есть средняя квадратическая погрешность функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическуюпогрешность соответствующего аргумента.

Пример. Определить величину превышения и ее среднюю квадратическую погрешность, если нивелирование выполнено тригонометрическим способом, то есть: h = d ^. tgv. Длина d, равная 100 м, измерена с относительной погрешностью 1:1000, а угол, равный v = 30⁰, измерен со средней квадратической погрешностью m_н = 0,5.

Учитывая вышеприведенные исходные данные, превышение будет равно.

h = 100 м ^. tg30⁰ = 100 ^. 0,5774 = 57,74 м, а средняя квадратическая погрешность определения превышения будет получена по формуле (47).

(48).

.

Подставляя в формулу (48) значения частных производных и их числовые величины, получим.

или.

h = 57,74 м 0, 06 м.

Средняя квадратическая погрешность по разностям двойных измерений В особом ряду геодезической практики стоят однородные двойные измерения, по результатам которых необходимо также производить оценку точности этих измерений и их функций. К таким измерениям относятся, например, измерения длин линий в прямом и обратном направлениях, углов теодолитом при круге право и круге лево, превышений по двум сторонам рейки и тому подобные. Метод двойных измерений одной и той же величины широко применяется при исследовании приборов и инструментов, изучении условий, в которых производятся измерения. Каков же способ оценки точности измерений применим в этих случаях?

Пусть дан ряд однородных двойных измерений: 1₁, 1₁; 1₂, 1₂;.; 1_n, 1_n, произведенных одним прибором и при одинаковых условиях.

Отсюда можно написать ряд равенств их разностей.

• 1₁ — 1₁ = d₁
• 1₂ — 1₂ = d₂
• 1₃ — 1₃ = d₃
• 1_n — 1_n = d_n

Если допустить, что все измерения сделаны абсолютно точно, то каждая разность равнялась бы нулю, то есть нуль является истинным значением разности. Следовательно, можно записать ряд равенств.

d₁ — 0 = d₁

d₂ — 0 = d₂

d₃ — 0 = d₃

d_n — 0 = d_n

Отсюда можно сделать правомерный вывод, что при отсутствии систематических погрешностей d₁, d₂, d₃,. .. , d_n являются истинными погрешностями разностей. В этом случае для оценки точности разности двойных измерений применима формула Гаусса (20).

. (49).

С другой стороны, каждая разность d_i есть функция разности двух измерений 1_i и 1^/_i. Следовательно, согласно формуле (35), средняя квадратическая погрешность разности двух равноточных измерений в раз больше средней квадратической погрешности одного измерения.

m_d = m₁ ^., (50).

где m₁ — средняя квадратическая погрешность одного измерения данного ряда. Отсюда с учетом формулы (49) можно написать.

. (51).

то есть средняя квадратическая погрешность каждого результата данного ряда измерений равна корню квадратному из суммы квадратов разностей парных измерений, деленной на число измерений вообще.

Формула (51) получена при условии отсутствия в измерениях систематических погрешностей. Наличие систематических погрешностей в результатах двойных измерений практически не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на их разности, но остаточная величина ее все же присутствует в разностях. Поэтому вычисленные по формуле (51) средние квадратические погрешности оказываются несколько преуменьшенными.

Пример. При прокладке теодолитного хода каждая сторона его была измерена дважды — в прямом и обратном направлениях.

Найти среднюю квадратическую погрешность каждого измерения.

Сначала находим разности парных измерений, то есть построчно из результатов измерений в прямом направлении вычитаем результаты измерений в обратном направлении и полученные величины записываем. Затем полученные значения возведем в квадрат и суммируем (гр. 5). После этого, подставив сумму квадратов разностей в форму (51), найдем среднюю квадратическую погрешность каждого результата из данного ряда измерений.

Если разности парных измерений содержат только случайные погрешности, то согласно четвертому закону свойств случайных погрешностей среднее арифметическое из этих разностей будет стремиться к нулю при достаточно большом числе измерений.

Систематические погрешности характеризуются постоянством знака. Поэтому при наличии их в результатах измерений среднее арифметические из разности парных измерений не будет равно нулю.

d_o = d / n, (52).

где d_o — есть не что иное, как вероятнейшее значение систематической погрешности разности.

Исключив из всех разностей парных измерений вероятнейшее значение систематической погрешности, получим вероятнейшие погрешности по результатам двойных измерений. Действительно, составим ряд равенств.

d₁ = d₁ — d₀

d₂ = d₂ — d₀

d₃ = d₃ — d₀

d_n = d_n — d₀

Сложив левую и правую части этих равенств, получим.

d = d — n ^. d₀.

Подставив сюда значение d₀ из формулы (52), будем иметь.

d = d — n ^. d / n = 0,.

то есть сумма разностей парных измерений при исключении из них систематической погрешности обладает свойствами вероятнейших погрешностей (16). Следовательно, для определения средней квадратической погрешности по разностям двойных измерений при условии исключения из них систематической погрешности можно использовать формулу Бесселя (26).

. (53).

С другой стороны, согласно (50), имеем.

m_d = m₁. .

Отсюда с учетом полученного выше выражения (53) будем иметь.

(54).

то есть средняя квадратическая погрешность каждого результата двойных измерений равна корню квадратному из суммы квадратов разностей парных измерений при исключенной из них систематической погрешности, деленной на число измерений вообще без двух.

d_o = d / n = + 6,0/6 = + 1,0; d = d — d_o

Сначала находим разности парных измерений, то есть построчно из величин гр. 2 вычитаем значения гр. 3 и результаты записываем в гр. 4. Затем суммируем значения гр. 4 и полученную величину делим на число парных измерений, в результате чего имеем вероятнейшую систематическую погрешность в разностях двойных измерений. Исключив систематическую погрешность из разностей двойных измерений, получим вероятнейшие значения погрешностей по двойным измерениям гр. 5. Для определения средней квадратической погрешности измерения угла в полуприеме возведем полученные в гр. 5 значения в квадрат и воспользуемся формулой (54). Так как вероятнейшее значение угла вычисляется как арифметическая средина из двух полуприемов, то для определения средней квадратической погрешности угла, измеренного полным приемом, воспользуемся формулой (44).

M_ср = 0, 25/2 = 0,18.