Свойства случайных погрешностей

Под случайной погрешностью понимают разность между измеренным значением случайной величины 1 и ее истинным (точным) значением Х при условии исключения, как отмечалось выше, систематических погрешностей.

_i = 1_i — X, (3).

где i = 1, 2, 3,.. ., n при массовых измерениях данной величины.

В теории погрешностей принимают два постулата:

• 1) погрешности _i подчинены нормальному закону распределения;
• 2) математическое ожидание М () = О, что означает отсутствие систематических погрешностей.

В этом случае математическое ожидание искомой величины М (1) равно истинному значению Х.

Плотность нормального распределения случайных погрешностей измерений характеризуется выражением.

(4).

где h = 1/m — мера точности, m — средняя квадратическая погрешность.

Выражение (4) называют уравнением кривой погрешностей, которое впервые было получено знаменитым немецким математиком и геодезистом К. Ф. Гауссом. Уравнению (4) соответствует колоколообразная кривая, которая называется кривой Гаусса.

У = ц (Д) Основная масса случайных погрешностей располагается по обе стороны математического ожидания М () = О, то есть когда математическое ожидание искомой величины М (1) стремится к истинному значению Х, и распределяется следующим образом: в интервале от — m до + m около 68,3%, свыше этой величины в интервале от -2m до +2m около 27,1%, ещё большие погрешности в интервале от -3m до +3m составляют около 4,3% и за пределами этого интервала всего лишь 0,3%. Последнее значение показывает, что величина погрешности, выходящая за пределы 3m, встречается столь редко, что для решения практических задач с ней можно уже не считаться.

Из анализа выражения (4) и кривой нормального распределения (рисунок 2) вытекают следующие свойства случайных погрешностей:

• 1) малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие (68,3%);
• 2) положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто;
• 3) случайные погрешности по абсолютной величине с заданной вероятностью не превосходят определенного предела (3m);
• 4) среднее арифметическое из значений случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном числе измерений, то есть

(5).

при n.

где? — сокращенно (по Гауссу) обозначена сумма соответствующих величин.

Здесь целесообразно записать дополнительное свойство случайных погрешностей, которое часто встречается в процессе оценки точности определяемой величины и вытекает из четвертого свойства:

5) среднее арифметическое из произведений парных случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном числе измерений, так как и здесь действует свойство компенсации, то есть число положительных и отрицательных значений произведений равновозможно.

(6).