Составление программы расчетов для решения задачи об установившийся фильтрации газированной жидкости

Если при составлении программы давление в пласте выше давления насыщения, то весь газ полностью растворен в жидкости, и она ведет себя как однородная. При снижении давления ниже давления насыщения из нефти выделяются пузырьки газа. По мере приближения к забою скважины давление падает, и размеры пузырьков увеличиваются вследствие расширения газа и одновременно происходит выделение из нефти новых пузырьков газа. Здесь мы имеем дело с фильтрацией газированной жидкости, которая представляет собой двухфазную систему (смесь жидкости и выделившегося из нефти свободного газа).

При фильтрации газированной жидкости рассматривают отдельно движение каждой из фаз, считая, что жидкая фаза движется в изменяющейся среде, состоящей из частиц породы и газовых пузырьков, а газовая фаза — в изменяющейся среде, состоящей из породы и жидкости. Полагая, что фильтрация происходит по линейному закону, записывают его отдельно для каждой фазы, вводя коэффициенты фазовых проницаемостей kж и kг, которые меняются в пласте от точки к точке:

.

Здесь — дебит свободного газа в пластовых условиях.

Опытами Викова и Ботсета установлено, что фазовые проницаемости зависят главным образом от насыщенности порового пространства жидкой фазой у. Насыщенностью у называется отношение объема пор, занятого жидкой фазой, ко всему объему пор в данном элементе пористой среды. В результате опытов построены графики зависимостей относительных фазовых проницаемостей kж^*=kж/k и kг^*=kг/k от насыщенности у для несцементированных песков (рис.1), для песчаников (рис.2), известняков и доломитов (рис.3); здесь k — абсолютная проницаемость породы, определяемая из данных по фильтрации однородной жидкости.

Рис. 2 Рис. 3

В теории фильтрации газированной жидкости вводится понятие газового фактора Г, равного отношению приведенного к атмосферному давлению дебита свободного и растворенного в жидкости газа к дебиту жидкости:

При установившейся фильтрации газированной жидкости газовый фактор остается постоянным вдоль линии тока.

Так как насыщенность является однозначной функцией давления, то относительную фазовую проницаемость жидкой фазы kж^* можно связать с давлением и построить график kж^* (р^*) (рис.4), где безразмерное давление:

где о — безразмерный газовый фактор:

Рис. 4.

Безнапорным называется фильтрационное течение, при котором полный напор недостаточен для того, чтобы жидкость поднялась до кровли пласта, в результате чего фильтрационный поток ограничивается сверху свободной поверхностью — поверхностью раздела между грунтовыми водами и воздухом или между нефтью и газом. Аналогичное течение имеем в тех случаях, когда под слоем движущейся нефти располагается неподвижная подошвенная вода. В термине «свободная поверхность» пренебрегается тем обстоятельством, что переходная область между жидкостью и газом или между двумя жидкостями в пористой среде не является резкой границей типа границы вода — воздух в стакане, а обязательно размыта из-за действия капиллярных сил. Толщина капиллярного переходного слоя измеряется десятками сантиметров и метрами. Поэтому кратко рассматриваемая в этом параграфе теория оказывается тем более точной, чем больше характерные размеры потока.

Будем рассматривать, таким образом, свободную границу как математическую поверхность, отделяющую фильтрационный поток от области, занятой неподвижной жидкостью. На этой границе должны выполняться два физических условия. С одной стороны, такая поверхность представляет собой поверхность тока, на которой нормальная компонента скорости обращается в нуль:

U_n|г=0, (5.1).

а с другой стороны — давление на свободной границе определяется гидростатическим давлением пограничной с фильтрационным потоком неподвижной жидкости, и потому Р|г=р₀-р'gz (5.2).

где р ' - плотность «соседней» жидкости; р_0 — давление в этой жидкости на горизонтальной поверхности (z = 0). В частности, если фильтрационный поток граничит с частью пласта, заполненной воздухом или газом пренебрежимо малой плотности, то из (5.2) получаем условие постоянства давления на свободной поверхности безнапорного потока р|г = р_о. Именно выполнение этого условия характерно для безнапорных течений.

Свободная граница отличается от заданных заранее тем, что на ней ставятся два граничных условия вместо одного. Лишнее краевое условие служит для отыскания неизвестной заранее свободной границы.

Безнапорные фильтрационные течения играют основную роль в теории движения грунтовых вод. В настоящее время создан аналитический аппарат, позволяющий получить точные решения ряда важных задач. Эти задачи и их решения рассмотрены детально в классической монографии П. Я. Кочиной. В последующем изложении используется лишь приближенная гидравлическая теория так называемых пологих безнапорных движений.

Под пологим фильтрационным движением понимается движение, происходящее в пластах с конечной глубиной водо — упора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации uz мала по сравнению с горизонтальной компонентой. Так как характерной скоростью при безнапорном фильтрационном движении является коэффициент фильтрации С, то горизонтальная компонента скорости может быть либо порядка С, либо мала по сравнению с С, т. е.

Uz<

Это неравенство можно переписать еще так:

µUz/k<

Но µUz/k представляет собой ту часть вертикальной компоненты градиента давления, которая обусловлена движением. Из неравенства (5.4) следует, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления при пологих безнапорных движениях мала по сравнению с гидростатической. Поэтому распределение давления по вертикали можно при пологих движениях считать гидростатическим. Выведем одно важное для дальнейших рассуждений соотношение. Рассмотрим объем V, ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через h расстояние от свободной поверхности жидкости до водоупора, а через z₀ расстояние от водоупора до горизонтальной плоскости г = 0. Объем жидкости, заключенной в области V и приращение этого объема за время dt равны соответственно.

(5.5).

где S — проекция объема V на горизонтальную плоскость.

Вместе с тем указанное приращение объема равно объему жидкости, притекающей в область V извне за время dt:

(5.6).

где Г — замкнутый контур, ограничивающий площадку S; U_n — нормальная компонента скорости и; q_n — нормальная компонента вектора потока q на Г.

Приравнивая (5.5) и (5.6), по формуле преобразования контурного интеграла в интеграл по площади и с учетом того, что площадка S может быть выбрана произвольно, получаем уравнение:

mh_t+div₂q=0. (5.7).

Заметим, что уравнение (5.7) — точное, справедливое независимо от каких-либо допущений. Для установления связи между q и h воспользуемся предположением о пологости движения. По предыдущему, давление в этом случае распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, так что величина H= z + p/pg вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна h + z₀:

H = h + z₀ + O (Uz/С); U = - С grad2 (h + z₀) + О (Uz).

Таким образом, пренебрегая малыми величинами, скорость и можно вынести из-под знака интегрирования по вертикали в соотношении (5.6), определяющем вектор q. Получаем.

q = - Chgrad₂ (h + z₀). (5.8).

Подставляя (5.8) в (5.7), имеем:

h_t = (С/m) div (hgrad (h + z₀)). (5.9).

В частности, если поверхность водоупора представляет собой горизонтальную плоскость (z₀ = 0), уравнение (5.9) принимает вид:

h_t = б? h², б = C/2m = 2^-1kpg (µm) — ¹. (5.10).

Уравнения (5.9) и (5.10) были впервые получены Буссинеском.

Для стационарных движений уравнение Буссинеска приводится к уравнению Лапласа для квадратичной функции напора:

?x = 0, х = 2^-1 (h² + 2hz₀). (5.11).

Теория пологих безнапорных движений приближенная. Несмотря на это, при фильтрации в области, ограниченной цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими и горизонтальным водоупором, на основе такой теории получаются точные значения дебитов и точные распределения по плоскости вектора интегрального потока q.

Безнапорное движение жидкости — это такое движение, в котором пьезометрическая поверхность совпадает со свободной поверхностью фильтрующейся жидкости, над которой давление постоянно.

При неподвижном состоянии жидкости ее свободная поверхность горизонтальна, в процессе движения она искривляется, понижаясь вдоль потока.

Безнапорное движение в добыче нефти встречается при шахтной и карьерной разработке нефтяных месторождений. Задачи безнапорного движения интересуют в большей степени гидротехников, например при фильтрации воды через земляные плотины, притоке грунтовой воды к скважинам и колодцам и др. Кроме того, задачи безнапорной фильтрации представляют большой теоретический интерес. Они значительно труднее, чем аналогичные задачи напорного движения. Главная трудность точного решения задач безнапорной фильтрации заключается в том, что неизвестна форма области, занятой грунтовым потоком. В напорной фильтрации форма области потока известна, так как непроницаемые кровля и подошва пласта фиксированы. Рассмотрим прямоугольную перемычку (плотину), через которую происходит фильтрация жидкости (рисунок 6.1). Уровень жидкости Н₁, называется верхним бьефом, уровень Н₂ — нижним бьефом. Свободная поверхность жидкости, фильтрующейся через тело плотины, называется депрессионной (пьезометрической) поверхностью (кривая ABC). Свободная поверхность выходит на правую грань всегда выше нижнего бьефа. Величина ВС называется промежутком высачивания.

Гидравлическая теория безнапорного движения основывается на следующих допущениях:

• 1) горизонтальные компоненты скорости фильтрации распределены равномерно в любом поперечном сечении потока;
• 2) давление вдоль вертикали распределено по гидростатическому закону, т. е. напор.

Рисунок 6.1: Схема безнапорного течения через прямоугольную перемычку

(6.1).

Таким образом, напор вдоль каждой вертикали предполагается постоянным.

Считая давление на свободной поверхности атмосферным (т.е. избыточное давление равно нулю), из (6.1), получим, что напор равен глубине потока h: Н=h.

Горизонтальная компонента скорости фильтрации постоянна вдоль вертикали и равна:

W_x=-k_фdh/dx,.

где k_ф = kрq/з — коэффициент фильтрации.

Вертикальная компонента скорости фильтрации равна нулю. Расход жидкости на единицу ширины потока q, т. е. через прямоугольник высотой h и единичной шириной равен:

q= W_x/h*l= k_фhdh/dx (6.2).

Из этой формулы найдем уравнение свободной поверхности. Разделив переменные и проинтегрировав, получим:

Здесь постоянная интегрирования С находится из граничного условия h = Н₁ при х = 0 и равна k_ф Н₁²/2. Тогда уравнение свободной поверхности принимает вид:

qx= k_ф (H₁²-h²) /2. (6.3).

Отсюда легко найти глубину потока h в любом сечении х. Предварительно найдем расход жидкости q. Подставив в (6.3) второе граничное условие h = H 2 при х = l, получим:

q= k_ф (H₁² — H₂²) / (2l). (6.4).

и расход жидкости Q через плотину шириной В будет равен:

Q=Bk_ф (H₁² — H₂²)) / (2l) =Bkpq (H₁² — H₂²) / (2зl) (6.5).

Форму депрессионной поверхности (пьезометрической линии АС) найдем из формулы (6.3). Подставив в нее выражение (6.4) для расхода q, получим:

(6.6).

Таким образом, согласно гидравлической теории безнапорного движения, пьезометрическая линия АС является параболой, что, строго говоря, не отражает реальную картину течения.

Это ясно из следующих соображений. Из формулы (6.6) при Н₂ = 0 у выхода в нижний бьеф (при х = l) получим h = 0 и, следовательно, бесконечную скорость фильтрации W_x = q/h, что физически невозможно.

Следовательно, в действительности должно быть h (l) > H₂, т. е. должен существовать промежуток высачивания ВС и пьезометрическая кривая будет иметь вид ABC, а не АС.

Формула же для дебита (6.5), хотя и выведена на основании приближенных допущений, тем не менее является точной, как было доказано И. А. Чарным.

Рассмотрим теперь схему установившегося безнапорного притока жидкости к совершенной скважине (или колодцу) (рисунок 6.2). Пусть на расстоянии R_k уровень грунтовых вод постоянен и равен Н_к, в скважине установлен постоянный уровень H_с.

Рисунок 6.2: Схема безнапорного притока к совершенной скважине.

Скорость фильтрации на расстоянии r от оси скважины:

W_r= - k_фdh/dr,.

а расход жидкости через боковую поверхность цилиндра:

Q=|W| 2рrh=k_ф2рrhdh/dr. (6.7).

Разделив в (6.7) переменные и проинтегрировав, получим:

Q ln r = р k_ф h² + С, где постоянная интегрирования С находится из граничного условия на контуре питания: Н = H_k. или r = R_k.

Тогда имеем:

Q ln (Rk/r) = р k_ф (H_k² — h²), (6.8).

откуда найдем дебит жидкости подставив второе граничное условие на забое скважины: Н = Н_с при r= r_с.

В результате получим:

(6.9).

Разрешив уравнение (6.8) относительно h, найдем уравнение депрессионной кривой АС:

(6.10).

Формулы (6.5) и (6.9) называются формулами Дюпюи.