Матрицы. 
Операции с матрицами

матрица программа гаусс уравнение.

Понятие матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае если m = n, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

Основные операции над матрицами

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Прежде всего, договоримся считать матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: A и B, имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = (Сij)(i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) тех же порядков m и n, элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2).

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением Итак, по определению имеем:

+ =.

=.

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

переместительным свойством: A + B = B + A.

сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C).

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Замечание: Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A — B.

Произведение матриц: Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), имеющей порядки соответственно равные m и n, на матрицу B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p), имеющую порядки соответственно равные n и p, называется матрица C = (Сij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p), имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы Cij, определяемые формулой.

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4).

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись C = AB. Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B: необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C, являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C = AB, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.

=.

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B:

сочетательное свойство:

(AB) C = A (BC);

распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить.

A =, B =, то AB =, а BA =.

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Умножение матриц некоммутативно, т. е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких — либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка:

АЕ = ЕА = А Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O; OA = O,.

где О — нулевая матрица.

Для любых квадратных матриц.

det (AB) = detAdetB.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от, А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы, А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

Обратная матрица — такая матрица A? №, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

A A? №= A? №A=E.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.