Модель движения системы материальных точек

1. Задача. Имеется система материальных точек с массами, взаимодействующих друг с другом с внутренними силами.

на каждую из которых действует внешняя сила.

.

Исходя из начальных радиус-векторов и скоростей, определите координаты и скорости материальных точек в последующие моменты времени.

2. Теория. Рассмотрим механическую систему из материальных точек. Основной закон динамики:

где — внутренняя сила, действующая наую материальную точку со стороны — ой материальной точки, — равнодействующая внешних сил, действующих наую материальную точку со стороны тел не входящих в систему.

Дифференциальное уравнение второго порядка может быть представлено двумя дифференциальными уравнениями первого порядка. Имеем:

Зная внешние и внутренние силы, действующие на каждую материальную точку, можно определить их ускорения. Исходя из координат и скоростей точки в момент времени можно рассчитать координаты и скорости точки в следующий момент времени.

Так как любая механическая система — совокупность взаимодействующих между собой материальных точек, то эта модель чрезвычайно широка и охватывает большое число механических систем. Помимо моделирования одномерного и двумерного движения материальной точки, данный метод позволяет изучить движение двух притягивающихся или отталкивающихся частиц, абсолютно упругий и неупругий центральные удары, абсолютно упругий и неупругий нецентральные удары, движение частицы в центрально-симметричном поле другой частицы, движение молекул газа, диффузия, движение планет вокруг Солнца, движение взаимодействующих частиц в однородном поле, движение взаимодействующих частиц в центрально-симметричном поле.

• 3. Алгоритм.
• 1. Задают число материальных точек, их массы, координаты и проекции начальных скоростей силовое поле

.

а также шаг по времени.

2. Начало цикла по Дают приращение по времени: переменной присваивают значение.

3. Определяют проекции равнодействующей всех внешних и внутренних сил, действующих на каждую ую материальную точку в момент, и записывают их в массивы.

4. В цикле переобозначают координаты всех материальных точек, записывая их в массивы.

5. В цикле перебирают все материальные точки и определяют проекции ускорения, скорости и координаты для каждой из них в момент.

По аналогичным формулам вычисляют проекции на ось OY. Результаты записывают в массивы.

6. Стирают изображения материальных точек в предыдущий момент времени, координаты которых сохранены в массивах.

7. На экране строят точки в следующий момент, либо рисуют графики или выводят результат в числовом виде.

• 8. Возвращение к операции 2. Если цикл по закончился, — выход из цикла.
• 4. Компьютерная программа. Ниже приведен код программы, которая моделирует движение 50 молекул газа в прямоугольном сосуде, находящемся в однородном гравитационном поле.

program PROGRAMMA4;

uses dos, crt, graph;

const N=50; dt=0.01;

var m, Fx, Fy, x, y, vx, vy, xx, yy: array[1.N] of real;

Gd, Gm, i, j: integer; ax, ay, F, l: real;

label Metka, metka1;

Procedure Init_Graph; {Инициализация графики}.

begin.

Gd:=Detect; InitGraph (Gd, Gm, 'c:pgi');

if GraphResult grOk then Halt (1);

end;

Procedure Sila; {Вычисление действующих сил}.

label Metka;

begin.

For i:=1 to N do begin Fx[i]: =0; Fy[i]: =0; end;

For i:=1 to N do for j:=1 to N do begin.

if j=i then goto Metka;

l:=sqrt (sqr (x[i]-x[j])+sqr (y[i]-y[j])); if l<2 then l:=2;

F:=-50 000*m[i]*m[j]/sqr (l)+500 000*m[i]*m[j]/sqr (l*l);

Fx[i]: =Fx[i]+F*(x[i]-x[j])/l;

Fy[i]: =Fy[i]+F*(y[i]-y[j])/l+m[i]*10;

Metka: end;

end;

Procedure Nach_uslov;

begin Randomize; {Задание случайных координат и скоростей}.

for i:=1 to N do begin m[i]: =2;

x[i]: =random (280)+60; y[i]: =random (280)+60;

vy[i]: =random (30)-15; vx[i]: =random (30)-15;

end; end;

BEGIN.

Init_Graph; Nach_uslov;

Repeat Sila;

for i:=1 to N do.

begin.

xx[i]: =x[i]; yy[i]: =y[i]; {Запись предыдущих координат}.

ax:=Fx[i]/m[i]; ay:=Fy[i]/m[i]; {Вычисление ускорений,}.

vx[i]: =vx[i]+ax*dt; vy[i]: =vy[i]+ay*dt; {скоростей,}.

x[i]: =x[i]+vx[i]*dt; y[i]: =y[i]+vy[i]*dt; {координат}.

if (x[i]350) then vx[i]: =-vx[i];{отражение}.

if (y[i]350) then vy[i]: =-vy[i];{от стенок}.

end; delay (500);

setcolor (8); for i:=1 to N do circle (round (xx[i]), round (yy[i]), 2);

setcolor (15); for i:=1 to N do circle (round (x[i]), round (y[i]), 2);

until KeyPressed; Repeat until keypressed; CloseGraph;

END.

• 5. Задания для студентов.
• 1. На основе компьютерной модели изучите движение двух или трех частиц, между которыми действуют силы притяжения.

• 2. Изучите движение двух материальных точек, между которыми действуют силы отталкивания. Промоделируйте центральный и нецентральный удар.
• 3. Промоделируйте разрыв снаряда на несколько осколков различной массы в однородном поле тяжести. При взрыве возникает сила отталкивания, быстро уменьшающаяся по мере удаления осколков.
• 4. Изучите движение материальной точки в гравитационном поле двух массивных тел. Проведите вычислительные эксперименты при различных начальных координатах и скоростях точки.
• 5. Промоделируйте движение нескольких планет и комет Солнечной системы, учитывая, что масса Солнца во много раз больше массы любой планеты.
• 6. Промоделируйте движение молекул газа в прямоугольном замкнутом сосуде. Учтите, что при соударении молекулы с горизонтальной (вертикальной) стенкой сосуда вертикальная (горизонтальная) проекция ее скорости меняет свой знак на противоположный.
• 7. Промоделируйте диффузию двух газов. Пусть вначале молекулы с массами заполняют левую половину сосуда, а молекулы с массами — правую. Задайте случайные значения скоростей молекул. Как изменяется концентрация молекул газов в сосуде с течением времени?

• 8. Промоделируйте движение молекул газа в однородном поле тяжести. Подтвердите, что по мере увеличения высоты концентрация молекул газа уменьшается по экспоненциальному закону.
• 9. Промоделируйте движение молекул газа в гравитационном поле шара большой массы.