Модель двумерного движения материальной точки

1. Задача. Материальная точка массой движется в силовом поле.

.

при этом на нее действует сила вязкого трения.

направленная противоположно скорости. Необходимо, зная начальные условия, построить траекторию движения точки.

моделирование точка одномерный автоволновый.

2. Теория. Примерами подобного движения являются движение точки, в однородном силовом поле, в центральном силовом поле сил притяжения или отталкивания, в центральном поле сил упругости и т. д. При этом могут быть учтены силы вязкого трения.

Проанализируем основные ситуации.

• 1. Движение в однородном поле. Во всех точках пространства вектор силы имеет постоянные проекции на оси координат. При отсутствии силы трения точка движется по параболе, а при ее наличии — по более сложной кривой.
• 2. Движение в центрально-симметричном поле, действующем по закону обратных квадратов. На точку с координатами действует сила

Ее проекции на оси координат:

В поле притяжения в зависимости от начальных координат и скоростей точка движется по гиперболе, параболе или эллипсу. В поле отталкивания траекторией движения точки является гипербола.

3. Движение в магнитном поле. Движение заряженной частицы в магнитном поле будет двумерным, если начальная скорость частицы перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. При этом со стороны поля действует сила Лоренца.

.

лежащая в плоскости экрана и направленная перпендикулярно вектору скорости. Введем угол, который образует вектор с осью. Проекции силы Лоренца на координатные оси:

Заряженная частица описывает окружность. При наличии тормозящей силы радиус окружности уменьшается.

4. Движение частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях. Пусть силовые линии электрического поля лежат в плоскости экрана и направлены вверх, а силовые линии магнитного поля направлены к нам перпендикулярно вектору .

Если заряд частицы положительный, то на него со стороны электрического поля действует постоянная сила, направленная вверх. Чтобы учесть ее влияние необходимо к вертикальной проекции силы Лоренца прибавить постоянное слагаемое :

Если начальная скорость частицы равна нулю, то траекторией ее движения является циклоида.

3. Алгоритм. Пусть в момент времени материальная точка имеет координаты и проекции скорости Запишем второй закон Ньютона:

Отсюда следует, что проекции ускорения точки в момент времени равны:

Определив координаты и проекции скорости точки в момент времени, можно повторить процедуру вычисления требуемое количество раз и построить траекторию движения точки.

Построим алгоритм модели.

1. Задают массу материальной точки, коэффициент вязкости, начальные координаты и проекции скорости силовое поле.

.

а также шаг по времени.

• 2. Начало цикла по Дают приращение по времени: переменной присваивают значение
• 3. Определяют ускорение, скорость и координату тела в следующий момент времени:

• 4. Результаты вычислений выводят на экран в числовом виде либо строят соответствующие точки на координатной плоскости.
• 5. Возвращение к операции 2. Если цикл по закончился, — выход из цикла.
• 4. Компьютерная программа. Предлагаемая компьютерная программа позволяет изучить движение материальной точки в различных силовых полях с учетом действующей на точку силы трения.

program PROGRAMMA3;

uses crt, graph;

var v, B, q, F, Fx, Fy: real;

r, x, y, vx, vy, ax, ay: real; Gd, Gm, i: integer;

const M=500; mm=100; dt=0.005; rr=0.1; k=2;

Begin.

Gd:= Detect; InitGraph (Gd, Gm, 'c:pgi');

if GraphResult grOk then Halt (1);

line (320,240,640,240); line (320,240,320,0); circle (320,240,5);

x:=100; y:=120; vx:=1; vy:=-2;

Repeat.

begin.

• -Заданние силового поля-
• (* Fy:=3; Fx:=0; *)
• (* Fx:=-k*x; Fy:=-k*y; *)
• (* r:=sqrt (x*x+y*y); F:=M*mm/(r*r);

Fx:=-F*x/r; Fy:=-F*y/r; *).

B:=2; q:=1; F:=B*v*q; v:=sqrt (vx*vx+vy*vy);

Fx:=F*vy/v; Fy:=-F*vx/v;

(* B:=2; q:=1; F:=B*v*q; v:=sqrt (vx*vx+vy*vy);

Fx:=F*vy/v; Fy:=-0.5-F*vx/v; *).

— Расчет скоростей и ускорений;

ax:=(Fx-rr*vx)/mm; ay:=(Fy-rr*vy)/mm;

vx:=vx+ax*dt; vy:=vy+ay*dt; x:=x+vx*dt; y:=y+vy*dt;

circle (round (x)+320,240-round (y), 2); setcolor (12);

circle (round (x)+320,240-round (y), 1); setcolor (15);

end;

until KeyPressed;

CloseGraph;

END.

• 5. Задания для студентов.
• 1. Материальная точка массы брошена под углом к горизонту в однородном поле тяжести. Изучите траекторию ее движения при отсутствии силы вязкого трения и при ее наличии.
• 2. Убедитесь в том, что время подъема материальной точки, движущейся под действием силы тяжести в вязкой среде, меньше времени спуска. Воспользуйтесь тем, что в наивысшей точке подъема проекция скорости на ось меняет свой знак на противоположный.

3. Промоделируйте движение точки в поле центральных сил упругости.

в случае, когда на точку действует сила вязкого трения и когда она равна нулю. По какой траектории движется точка?

4. Исследуйте движение точки в поле сил притяжения, действующих по закону обратных квадратов.

Промоделируйте ситуации, в которых точка движется по гиперболе, параболе, эллипсу. Изучите характер движения искусственного спутника Земли, входящего в верхние слои атмосферы, на который действует сила вязкого трения.

• 5. Изучите движение точки в поле сил отталкивания. Промоделируйте опыт Резерфорда по отклонению альфа-частиц ядрами атомов золота. Меняя прицельный параметр, проведите серию компьютерных экспериментов.
• 6. Промоделируйте движение заряженной частицы в камере Вильсона, помещенной в однородное магнитное поле. Учтите, что по мере своего движения частица теряет кинетическую энергию. Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости экрана.
• 7. Исследуйте движение заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях, направленных параллельно и перпендикулярно плоскости экрана соответственно.

• 8. Изучите движение материальной точки в гравитационном поле двух массивных тел. Проведите компьютерные эксперименты при заданных начальных координатах и скорости точки.
• 9. Задайте произвольное силовое поле

и промоделируйте движение частицы в нем.