Введение. 
Русская алгебраическая школа

Теория групп XX — го столетия

Появление и бурное развитие общей алгебры, продолжающееся, непрерывно нарастая, уже около пятидесяти лет, представляет собою одну из самых ярких страниц математики двадцатого века.

На протяжении столетий алгебра была наукой об уравнениях. В девятнадцатом веке поняли, что вместо уравнений (и систем уравнений) можно говорить об их левых частях, т. е. о функциях специального вида (и о системах таких функций), а это привело к тому, что алгебра стала считаться частью математического анализа, частью теории функций. Даже не в очень удаленные от нас времена можно было встретить в некоторых книгах слова «алгебра или алгебраический анализ». Одновременно, однако, в недрах тогдашней алгебры и в связи с ее потребностями возникали некоторые новые теории, в математический анализ никак не укладывавшиеся. Именно, в связи с теорией Галуа возникла теория групп, медленно развивающаяся в девятнадцатом веке в виде теории конечных групп подстановок. Во второй половине девятнадцатого века стала разрабатываться примыкавшая к теории чисел теория полей, а именно — теория полей алгебраических чисел. В это же время в связи с появлением кватернионов начинают изучаться различные гиперкомплексные числовые системы, т. е., на современном языке, конечномерные линейные алгебры, причем с некоммутативным, а иногда и неассоциативным умножением.

Важным этапом был переход от девятнадцатого к двадцатому веку. Именно в это время было понято, что при изучении перечисленных выше математических объектов на самом деле изучаются свойства заданных в них алгебраических операций и что эти объекты следует определять аксиоматически, указывая исходные свойства операций и игнорируя природу элементов, над которыми операции производятся. Иными словами, появилось понятие изоморфизма. В результате в первые два десятилетия нашего века теория конечных групп развивалась уже как абстрактная теория, было положено начало общей теории бесконечных групп, теории полей, а также теории коммутативно-ассоциативных колец.

История алгебры начинается в двадцатые годы, когда впервые стало понято, что именно изучение алгебраических операций, т. е. изучение таких образований, как группы, поля, кольца, линейные алгебры, является истинной задачей алгебры. В эти годы в центре внимания была теория колец, как ассоциативно-коммутативных, так и любых ассоциативных; в первом случае развитие шло от теории идеалов колец целых алгебраических чисел, во втором — от теории конечномерных линейных алгебр. Теория бесконечных групп стала разрабатываться как теория групп с операторами, в частности, абелевых групп с операторами, т. е. модулей, как стали говорить позже.

Развитие самой общей алгебры шло исключительно бурно. Все перечисленные выше ветви алгебры продолжали глубоко п всесторонне разрабатываться и вместе с тем возникали новые направления, новые области. В тридцатых годах появилась топологическая алгебра и началась активная деятельность в теории структур, т. е. области, истоки которой можно найти в работах, относящихся еще к началу нашего века.

В сороковых годах развилась теория неассоциативных колец и бесконечномерных неассоциативных линейных алгебр, теория полугрупп, истоки которой можно найти еще в двадцатых годах, теория упорядоченных алгебраических образований, идущая от относящихся к началу века исследований по основаниям геометрии. В пятидесятых годах утвердилась в качестве самостоятельной области теория квазигрупп и началось бурное развитие теории категорий.

Эти же годы явились годами начала систематического изучения универсальных алгебр, хотя основы их теории были заложены еще в тридцатые годы, а в математической логике они появились даже много раньше. Понятие универсальной алгебры долго вызывало у математиков настороженность — казалось, что понятие множества, в котором задана произвольная система произвольных алгебраических операций, произвольным образом между собою связанных, слишком широко и поэтому слишком бедно содержанием для того, чтобы стать объектом глубокой теории. Развитие теории за последние два десятилетия показало неосновательность этих опасений. Теория универсальных алгебр сейчас не только объединяет то немногое общее, с чего начинаются различные конкретные разделы общей алгебры, но и нашла собственную проблематику и сложилась как самостоятельная ветвь алгебры. При этом ее появление никак не отменяет более конкретных разделов общей алгебры, так же как появление теории колец не отменило теории полей, а появление теории полугрупп не ликвидировало теории групп.

Теория групп — один из основных разделов современной алгебры. Изучение групп без предположения конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916 г). В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами — в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Конечной целью собственно теории групп является описание всех групповых композиций.

Приведем несколько примеров применения групп в алгебре, в математике вообще и в естествознании.

Группы Галуа.

Гомологические группы.

Группы симметрии.

Перечислим теперь некоторые важные классы групп.

Старейшей и по-прежнему интенсивно развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп. Важное место в ней занимает отыскание конечных простых групп, к которым относятся многие классические группы матриц над конечными полями, несколько серий групп автоморфизмов алгебр Ли, а также отдельные «спорадические» группы. На другом полюсе находятся конечные разрешимые группы, в них обычно интересуются специфическими системами подгрупп (холловых, картеровых и пр.), во многом определяющих строение самой группы.

Часто конечные группы возникают в форме групп подстановок или матриц над конечными полями; изучению представлений матрицами и подстановками посвящено большое самостоятельное направление теории конечных групп. Типичным методом исследования бесконечных групп является наложение на них условий конечности. Здесь наибольшее внимание привлекают периодические группы, локально конечные группы, группы с условием максимальности для подгрупп, группы с условием минимальности для подгрупп, конечно порожденные группы, группы конечного ранга, финитно аппроксимируемые группы.

При изучении абелевых групп важную роль играют полные абелевы группы, абелевы группы без кручения и периодические абелевы группы, а в них сервантные и примерные подгруппы. Исследование произвольной абелевой группы во многом сводится к теориям указанных классов с помощью теории расширений абелевых групп, развиваемой в основном гомологическими методами. Более широкими по отношению к классу абелевых групп являются классы нильпотентных и разрешимых групп, теория которых также достаточно развита. Из обобщений нильпотентности и разрешимости отметим локальную нильпотентность, локальную разрешимость, нормализаторное условие, энгелевость, а также многочисленные классы групп, определяемые наличием в них нормальных систем того или иного типа. Наконец, несколько больших самостоятельных разделов теории групп определяются внесением в группу дополнительных структур, согласованных с групповой операцией, — назовем здесь топологические группы, группы Ли.