Математика для гуманитариев

Математика стала неотъемлемой составной частью высшего профессионального образования будущих психологов, юристов, историков, филологов, учителей нематематических дисциплин. Обучение математике студентов-гуманитариев преследует три главных цели:

• 1) общенаучную, представляющую математику как важнейшую форму научного познания и необходимый элемент мировой культуры;
• 2) развитие логического мышления, столь значимого для любого современного специалиста;
• 3) профессиональную, где математика выступает в качестве инструмента работы и исследований конкретного специалиста.

Пусть лучше гуманитарий не знает физики, чем не понимает красоту математических абстракций и построений.

Существуют разнообразные подходы к обучению математике студентов гуманитарных специальностей — от самых упрощенных курсов, состоящих из разрозненных рассказов или «сказок» о математике, до весьма серьезных курсов, преподаваемых гуманитариям так же, как и будущим математикам-профессионалам. Нужно иметь чувство меры, искать «золотую середину». Для этого требуется выделить инвариантное ядро предлагаемого гуманитариям общего курса математики, которое отвечало бы целям и функциям обучения математике. Мы выделяем два раздела — «Дискретная математика» и «Математические модели», которые должны обязательно входить в ядро курса математики для гуманитариев. Отдельные вопросы общего курса и полнота соответствующего материала, методика их изложения могут варьироваться с учетом количества часов, отводимых на изучение математики, конкретной специальности и уровня подготовки студентов-гуманитариев.

Разумеется, гуманитариям нужны и другие курсы или спецкурсы, тесно связанные с математикой. Так, например, социальным психологам и политологам необходимо знание элементов математической статистики, поскольку они широко пользуются методами группового анкетирования и репрезентативного опроса. А, скажем, будущим историкам или юристам курс математической статистики не обязателен.

Примерная программа общего курса математики

Предисловие. Что такое математика? Объект, предмет, природа, специфика, статус, методы математики. Математика как особая форма мышления и научного познания.

Раздел 1. Дискретная математика

• 1. Множества, числа и функции. Понятие множества. Отношения принадлежности и включения. Пустое и универсальное множества. Диаграммы Эйлера—Венна. Развитие понятия числа. Основные числовые множества. Числовая прямая. Операции над множествами и их важнейшие свойства. Прямое произведение множеств. Координатная плоскость. Правило суммы для двух и трех конечных множеств. Мощность множества. Понятие функции. График функции. Композиция функций. Элементарные функции.
• 2. Комбинаторика. Правило произведения. Размещения, перестановки и сочетания. Свойства сочетаний. Метод 0−1-кодирования.
• 3. Вероятность. Определение классической вероятности. Понятия статистической и геометрической вероятности. Сумма и произведение вероятностей. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Понятие дискретной случайной величины. Ее математическое ожидание и дисперсия.
• 4. Графы. Исходные понятия теории графов. Применения.
• 5. Логика высказываний. Высказывания и логические операции над ними. Формулы логики высказываний и таблицы истинности. Логическое равенство формул логики высказываний. Логическое следование и правила вывода. Законы логики. Проверка правильности рассуждений. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы; применение к анализу контактных схем.

Раздел 2. Математические модели

• 1. Понятие модели. Примеры математических моделей. Одномерные и многомерные модели, дискретные и непрерывные модели, жесткие и мягкие модели. Метод математического моделирования.
• 2. Модели динамики популяции. Жесткая (грубая) модель Мальтуса. Логистическая модель. Экспоненциальная модель с отловом. Логистическая модель с отловом. Мягкая логистическая модель с отловом.
• 3. Модели конфликта. Модель Ланкастера военного конфликта. Модель Лотка—Вольтерра борьбы за существование.
• 4. Метод выпуклого анализа. Системы линейных уравнений и линейных неравенств. Задача о встрече. Производственная и транспортная задачи. Задача о диете.
• 5. Игры. Простейшие матричные задачи.

Прокомментируем предложенную программу. По сравнению с непрерывной математикой дискретная математика стала занимать все большее место как в самой математике, так особенно в ее приложениях. Это обусловлено современным процессом компьютеризации, развитием информационных технологий. Человек в своей практической деятельности всегда имеет дело с конечными объектами: словами (конечными последовательностями символов), обозримыми рациональными числами, алгоритмами. Значения иррациональных величин заменяются приближенными рациональными значениями. Вычисления даже по самым совершенным формулам проводятся по модулю рациональности. Непрерывная (бесконечная) математика остается фундаментом современной математики. Однако любая непрерывная процедура имеет дискретные аналоги, которые поддаются программированию и компьютерной обработке. Для применений математики достаточно знания дискретной математики и информатики. Поэтому инвариантное ядро общего курса математики для нематематиков должно содержать в первую очередь элементы дискретной математики. В разделе 1 указан тот минимум тем дискретной математики, который нам представляется обязательным для изучения.

Метод математического моделирования — универсальный способ применений математики, важнейший инструмент научного познания и описания реальности, в то время как линейное программирование (выпуклый анализ) и теория игр являются классикой прикладной математики, модели динамики популяции и модели конфликта можно заменить в программе курса другими моделями, более подходящими для той или иной специальности. В пункте 1 раздела 2 желательно привести простые примеры непрерывных моделей, использующие начала математического анализа (элементы дифференциального и интегрального исчислений).