Пусть функция распределения непрерывно й случайной величины .
По определению плотности распределения.
.
Разность определяет вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу.
По аналогии с определением плотности массы в точке, принятой в физике, целесообразно рассматривать значение функции в точке как плотность вероятности в этой точке.
Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции (главной части приращения функции), т. е.
.
.
Это означает, что вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу, приближенно равна произведению плотности вероятности в точке на длину интервала .
Иначе, вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу, приближенно равно площади прямоугольника с основанием и высотой .
Закон равномерного распределения вероятностей
На практике приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределения непрерывных случайных величин называют также законами распределения. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределения.
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняется постоянной.
Пример. Ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления на шкале измерительного прибора, проградуированного в некоторых единицах.
Найдем плотность равномерного распределения, считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале, на котором функция сохраняет постоянные значения, равные, т. е.
По условию вне интервала. Найдем постоянную .
Так как, по условию все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу, то должно выполняться соотношение.
или.
Отсюда.
Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения.
