Методика обучения учащихся решению задач, содержащих одновременное преобразование геометрической фигуры и аналитического выражения, связанного с этой фигурой

Задачи этой группы не имеют принципиальных различий с ранее предложенными нами, однако отличаются от последних тем, что в результате одного и того же предельного преобразования, примененного, с одной стороны, к фигуре F, ас другой — к формуле, отражающей некоторую характеристику фигуры F, получаются аналогичная исходной фигура F' и формула, отражающая характеристику фигуры F'. Сказанное можно проиллюстрировать следующей схемой (рис. 2.34).

Рис. 2.34.

Задача 2.15. Какое предельное преобразование позволяет установить аналогию между: а) усеченным конусом и цилиндром; б) объемом усеченного конуса , где г₁иг₂ — радиусы оснований усеченного конуса; h — его высота) и объемом цилиндра (У_ц = nr²h, где г и h — соответственно радиус и высота цилиндра); в) площадью полной поверхности усеченного конуса (S_ycK = л/(г_г + г₂)+3икг$-±п1г?, где Г] и г₂ — радиусы оснований усеченного конуса; I — его образующая) и площадью полной поверхности цилиндра (S₄ = 2nrh + 2nr², где г и h — соответственно радиус и высота цилиндра)?

Выполним чертеж, на котором изобразим усеченный конус и цилиндр (рис. 2.35). Наглядное изображение этих фигур позволяет увидеть зависимость между ними: цилиндр получается из усеченного конуса, если радиус одного из оснований усеченного конуса стремится к радиусу другого основания. Мы рассматриваем тот случай, когда ^ri ~^{> г}2> если же г₂ —" г_ь то рассуждения будут аналогичны.

Рис. 2.35.

Проверим, будут ли при данном предельном преобразовании получатся формулы, указанные в условии задачи. Для этого найдем соответствующие пределы (учитывая то, что при г_} —> г₂, образующая I усеченного конуса станет равна высоте h цилиндра):

Таким образом, применив к усеченному конусу предельный переход, при rj —> г₂ получим цилиндр, а из формул, выражающих объем и площадь полной поверхности усеченного конуса, получим формулы, выражающие соответственно объем и площадь полной поверхности цилиндра.

В зависимости от уровня развития учеников подход к преобразованию формул может быть различным. Так, например, условие данной задачи можно сформулировать тремя различными способами.

пз.

• 1- й способ. Задано предельное преобразование и указаны элементы, к которым оно применяется.
• 1. Пусть радиус одного из оснований усеченного конуса стремится к радиусу другого основания. Проследите, как будет при этом изменяться объем усеченного конуса, площадь его полной поверхности.
• 2. Найдите формулу объема цилиндра, если известно, что его можно получить из усеченного конуса, увеличивая (уменьшая) радиус любого из его оснований.
• 2- й способ. Указаны лишь элементы, к которым применяется предельное преобразование.
• 1. Найдите предельное преобразование усеченного конуса, которое приводит к преобразованию его в цилиндр.
• 2. Можно ли установить аналогию между объемом усеченного конуса и объемом цилиндра; площадью полной поверхности усеченного конуса и площадью полной поверхности цилиндра?
• 3- й способ. Задано лишь предельное преобразование.
• 1. Продолжите следующее предложение. Пусть радиус одного из оснований усеченного конуса стремится к радиусу другого основания, тогда аналогию установим между…
• 2. Составьте задачу по рисунку (см. рис. 2.35).

Подчеркнем, что данная задача имеет свои стереометрические и планиметрические аналоги и вместе с задачами 88—90, приведенными разделе задач для самостоятельной работы, образует четверку аналогичных задач, поэтому указанные задачи целесообразно рассматривать совместно.

Отметим, что задачи этой группы (и других групп также) можно оформить в виде таблицы. Покажем это на примере последней решенной задачи (табл. 2.7).

Таблица 2.7

Оформление задач

Исходная фигура и формула.	Преобразованная фигура и формула.	Преобразование.

Исходная фигура и формула.	Преобразованная фигура и формула.	Преобразование.
Площадь полной поверхности.	Площадь полной поверхности.
где г и R — радиусы оснований; 1 — образующая усеченного конуса.	где R — радиус основания; h — высота цилиндра.

Итак, мы рассмотрели методику обучения учащихся решению задач, которые предполагают использование предельной аналогии. Далее мы приводим пары задач, при решении которых также целесообразно использование аналогии.