Простейшее доказательство. 
Пифагор. 
Теорема Пифагора. 
Доказательства, обобщение, области применения

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ДABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, — по два. Теорема доказана.

Метод подобия

Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Приведу в современном изложении одно из таких доказательств, возможно принадлежащих Пифагору. Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные математики обычно приписывают Евклиду.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения ВС=а, АС=в, АВ=с получаем.

а/с=|НВ|/а, в/с=|АН|/в,.

что эквивалентно.

а2=с*|НВ|; в2=с*|АН|.

Сложив, получаем.

а2+ в2=с*(|НВ|+|АН|)=с2. Или а2+ в2=с2,.

что и требовалось доказать.