Графы. 
Модели систем. 
Графы

Очевидно, что наиболее понятный и полезный для человека способ представления графа — изображение графа на плоскости в виде точек и соединяющих их линий — будет совершенно бесполезным, если мы захотим решать с помощью ЭВМ задачи, связанные с графами. Выбор соответствующей структуры данных для представления графов имеет принципиальное влияние на эффективность алгоритмов, поэтому мы подробнее остановимся на этой проблеме. Мы покажем несколько различных способов представления и кратко разберем их основные достоинства и недостатки.

Будем рассматривать как ориентированные, так и неориентированные графы. Граф будем всегда обозначать G = (V, E), где V обозначает множество вершин, а Е — множество ребер, причем Е V X V для ориентированного графа и Е{{х, у}: х, у V? ху} для неориентированного графа. Будем также использовать обозначения |V| = n и |Е| = m.

В теории графов классическим способом представления графа служит матрица инциденций. Это матрица, А с n строками, соответствующими вершинам, и m столбцами, соответствующими ребрам. Для ориентированного графа столбец, соответствующий дуге E, содержит —1 в строке, соответствующей вершине х, 1 в строке, соответствующей вершине у, и нули во всех остальных строках (петлю, т. е. дугу вида, удобно представлять иным значением в строке х, например, 2).

В случае неориентированного графа столбец, соответствующий ребру {х, у}, содержит 1 в строках, соответствующих х и у, и нули в остальных строках. Это проиллюстрировано на рисунке 1. С алгоритмической точки зрения матрица инциденций является, вероятно, самым худшим способом представления графа, который только можно себе представить. Во-первых, он требует nm ячеек памяти, причем большинство этих ячеек вообще занято нулями. Неудобен также доступ к информации. Ответ на элементарные вопросы типа «существует ли дуга ?», «к каким вершинам ведут ребра из х?» требует в худшем случае перебора всех столбцов матрицы, а, следовательно, m шагов.

Рисунок 1. а) Ориентированный граф и его матрица инциденций; б) Неориентированный граф и его матрица инциденций.

Лучшим способом представления графа является матрица смежности, определяемая как матрица В = [b*j] размера nхm, где b_ij = 1, если существует ребро, идущее из вершины х в вершину у, и b_ij = 0 в противном случае. Здесь мы подразумеваем, что ребро {х, у} неориентированного графа идет как от х к у, так и от у к х, так что матрица смежности такого графа всегда является симметричной. Это проиллюстрировано на рисунке 2.

Основным преимуществом матрицы смежности является тот факт, что за один шаг можно получить ответ на вопрос «существует ли ребро из х в y?». Недостатком же является тот факт, что независимо от числа ребер объем занятой памяти составляет n². На практике это неудобство можно иногда уменьшить, храня целую строку (столбец) матрицы в одном машинном слове — это возможно для малых n.

В качестве еще одного аргумента против использования матрицы смежности приведем теорему о числе шагов, которое должен выполнить алгоритм, проверяющий на основе матрицы смежности некоторое свойство графа.

Пусть Р — некоторое свойство графа P (G) = 0 или P (G)=1 в зависимости от того, обладает или не обладает G нашим свойством. Предположим, что свойство Р удовлетворяет следующим трем условиям:

• (а) P (G)=P (G'), если графы G и G' изоморфны;
• (б) P (G) = 0 для произвольного пустого графа и P (G)=1 для произвольного полного графа ₂(V)> с достаточно большим числом вершин;

Рисунок 2. Матрицы инциденций для графов на рисунке 1.

(в) добавление ребра не нарушает свойства Р, т. е. P (G).

Примером такого свойства Р является существование цикла (в графе, имеющем, по крайней мере три вершины).

Теорема. Если Р — свойство графа, отвечающее условиям (а), (б), (в), то каждый алгоритм, проверяющий свойство Р (т. е. вычисляющий значение P (G) для данного графа G) на основе матрицы смежности, выполняет в худшем случае Щ (n²) шагов, где n — число вершин графа.

Эта теорема справедлива также для ориентированных графов и для свойств, не зависящих от петель графа, т, е. отвечающих дополнительному условию.

(г) P (G) = P (G') для произвольных ориентированных графов G =, G' = U >, v C V.

Более экономным в отношении памяти (особенно в случае, неплотных графов, когда m гораздо меньше n2) является метод представления графа с помощью списка пар, соответствующих его ребрам. Пара соответствует дуге, если граф ориентированный, и ребру {х, y} - в случае неориентированного графа.

Рисунок 3. Списки ребер соответствующие графам на рисунке 1.

Очевидно, что объем памяти в этом случае составляет 2n. Неудобством является большое число шагов — порядка n в худшем случае, — необходимое для получения множества вершин, к которым ведут ребра из данной вершины.

Ситуацию можно значительно улучшить, упорядочив множество пар лексикографически и применяя двоичный поиск, но лучшим решением во многих случаях оказывается структура данных, которую мы будем называть списками инцидентности. Она содержит для каждой вершины v C V список вершин и, таких что v -> u (или v — и в случае неориентированного графа). Точнее, каждый элемент такого списка является записью u, содержащей вершину u. строка и указатель u. след на следующую запись в списке (u. след = nil для последней записи в списке). Начало каждого списка хранится в таблице НАЧАЛО; точнее, НАЧАЛО[v] является указателем на начало списка, содержащего вершины из множества {u: v+u} ({u: v — u} для неориентированного графа). Весь такой список обычно неформально будем обозначать 3AПИСЬ[v], а цикл, выполняющий определенную операцию для каждого элемента и из этого списка в произвольной, но четко установленной последовательности, соответствующей очередности элементов в списке, будем записывать «for u C ЗАПИСЬ [v] do …».

Отметим, что для неориентированных графов каждое ребро {u, v} представлено дважды: через вершину v в списке ЗАПИСЬ[u] и через вершину u в списке ЗАПИСЬ[v]. Во многих алгоритмах структура графа динамически модифицируется добавлением и удалением ребер. В таких случаях полагаем, что в наших списках инцидентности элемент списка ЗАПИСЬ [u], содержащий вершину u, снабжен указателем на элемент списка 3AПИCЬ[v], содержащий вершину u, и что каждый элемент списка содержит указатель не только к следующему элементу, но и к предыдущему. Тогда удаляя некоторый элемент из списка, можем легко за число шагов, ограниченное константой, удалить другой элемент, представляющий то же самое ребро, не просматривая список, содержащий этот элемент.

Аналогичным способом определяем для каждой вершины и неориентированного графа список ПРЕДШ[v], содержащий вершины из множества (u: u -> v).

Число ячеек памяти, необходимое для представления графа с помощью списков инцидентности, будет, очевидно, иметь порядок m + n. На рисунке 4 представлены списки инцидентности, соответствующие графам на рисунке 1.

Рисунок 4. Списки инцидентности ЗАПИСЬ[v], v =V, соответствующие графам на рисунке 1.