Аксиоматика евклидовой геометрии

Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельности прямых, а точнее, пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.

Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Были попытки доказательства от противного: прийти к противоречию, предполагая верным отрицание постулата. Однако и этот путь был безуспешным.

Наконец, в начале XX века почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Больяи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь «геометрией Лобачевского».

Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.

Непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы. Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости, которая будет здесь представлена, сделана по материалам учебника «Геометрия» (А.Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, М: Просвещение, 1991). Эта модель была предложена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 году.

Для начала напомним основные понятия и аксиоматику, на которой базировалось изложение, систематизировав их заново и дополнив необходимыми аксиомами. За основные объекты были приняты точка, прямая и фигура. За основные отношения между этими объектами принимаются:

• 1) точка принадлежит фигуре, в частности прямой;
• 2) точка лежит между двумя точками для точек прямой.

Следующие определения базируются на основных определениях.

Фигура называется объединением некоторых данных фигур, если ей принадлежат все точки этих фигур, и никакие другие.

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.

Лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки A, что и точка B. Точка A называется вершиной луча. Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, — сторон угла.

Полуплоскостью, ограниченной прямой a, называется фигура, обладающая следующими свойствами:

• — она не содержит прямую а;
• — если точки A и B принадлежат полуплоскости, то отрезок AB не имеет общих точек с а;
• — если же A принадлежит полуплоскости, а B нет, то отрезок AB имеет общую точку с прямой а;
• — приведем систему аксиом, обозначив римской цифрой номер группы, а арабской — номер аксиомы в группе.

I. АКСИОМЫ СВЯЗИ ПРЯМОЙ И ТОЧКИ.

• · Существуют, по крайней мере, две точки.
• · Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
• · Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
• · Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

II. МЕТРИЧЕСКИЕ АКСИОМЫ ОТРЕЗКА.

• · Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
• · На каждом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один.

III. АКСИОМА НЕПРЕРЫВНОСТИ.

· Пусть A и B — любые две точки прямой a и пусть и — совокупности всех точек отрезка AB, таких, что и любая точка из лежит по ту же сторону, что и точка A от любой точки из Тогда существует точка C, такая, что любая точка из лежит по ту же сторону от C, что и A, а любая точка из — по ту же сторону от C, что и B.

IV. АКСИОМЫ ПЛОСКОСТИ.

• · Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
• · Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
• · От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
• · Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

V. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ЕВКЛИДА.

• · Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
• · Построение модели Пуанкаре начнем с того, что придадим конкретный смысл основным объектам и основным отношениям планиметрии Лобачевского. Для этого фиксируем на евклидовской плоскости E горизонтальную прямую x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского — это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.
• · Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.
• · Фигура на плоскости Лобачевского — это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту. Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' - проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели.