Математические методы в проектировании технических систем

математический модель технический программа Цель: сгенерировать с помощью ЭВМ результаты опытов однофакторного пассивного эксперимента и, используя их, получить математическую модель объекта.

1. C помощью программы «Z1 + Z2. exe», сгенерируем результаты однофакторного эксперимента, таблицу со значениями x и y.

Рис. 1.1. Результаты однофакторного эксперимента

Полученные значения занесём в таблицу 1.1.

Таблица 1.1.

Для расчёта a и b используем следующие формулы:

2. На прямоугольную координатную сетку нанесём точки с координатами (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) и по виду диаграммы разброса (корреляционного поля) параметров х и y определимся с выбором трёх элементарных функций, с помощью которых можно описать зависимость между y и x. В число этих функций обязательно включим функцию вида y = ax + b (линейную модель).

Диаграмма.1.1. Диаграмма разброса (корреляционное поле) параметров x и y.

Выбираем линейную функцию:

3. Находим коэффициенты.

Коэффициенты.
Y-пересечение.	109,7 887 982.
Переменная х1(90,7).	— 0,22 675 737.

Полученные значения занесём в таблицу 1.2.

Таблица 1.2.

Модель.	Коэффициент a.	Коэффициент b.		Критерий Фишера.	Решение о пригодности модели.	Относительная ошибка Д,%.
Значение.	Значение.	Fрасч.	Fкр
y=ax+b.	— 0,23.		45,08.		20,1.	Пригодна.	1,41.

4. С помощью F-статистики Фишера выяснить соответствие линейной модели экспериментальным данным (принять г=0,95).

По условию F>Fкр — модель статистически значимая Полученные значения занесём в таблицу 1.2.

5. Выполним проверку статистической значимости коэффициентов a и b.

Табличное значение критерия Стьюдента, соответствующее доверительной вероятности г = 0,95 при числе степеней свободы f=n-2=16−2=14, составляет tг, n-2=2,14.

Оба коэффициента превышают табличное значение критерия Стьюдента и признаются статистически значимыми.

Полученные значения записываем в таблицу 1.2.

6. В случае статистической значимости коэффициента a, независимо от принятого решения по коэффициенту b, по формуле подсчитаем коэффициент детерминации R2 и дать трактовку его значения. Если статистически незначимым окажется коэффициент a, то сделать вывод о степени корректности модели и наметить дальнейшие действия по получению модели.

Коэффициент детерминации R2 показывает, какая доля вариации отклика y объясняется изменениями фактора x. Чем ближе R2 к единице, тем лучше функция y=ц (x) описывает поведение отклика y.

7. Для выбранной нелинейной функции применим метод выравнивания, получим прямую линию и с помощью инструмента анализа Регрессия пакета Анализ данных программы Microsoft Excel определим вначале коэффициенты прямой линии. Затем по F-статистике Фишера выясним статистическую значимость этой линейной модели в целом и проверим статистическую значимость коэффициентов линейной модели. После чего с учётом преобразований, сделанных при выполнении выравнивания, наидём коэффициенты a и b искомой нелинейной функции и сделаем заключение о пригодности построенной нелинейной модели.

Применим метод выравнивания для показательной функции Прологарифмировав равенство, получим.

Введём обозначения. Получим.

Уравнение есть уравнение прямой линии. Её коэффициенты a и B могут быть подсчитаны используя в качестве значений значения. Совокупность используется без изменения.

В результате коэффициент a определиться сразу, а коэффициент b определиться, как .

№.	x.	y.
	56,7.	4,25.
		4,27.
	67,3.	4,30.
	72,6.	4,29.
	77,9.	4,33.
	83,2.	4,33.
	88,5.	4,32.
	93,8.	4,38.
	99,1.	4,35.
	104,4.	4,40.
	109,7.	4,41.
		4,44.
	120,3.	4,48.
	125,6.	4,48.
	130,9.	4,48.
	136,2.	4,52.

Применяем регрессионный анализ данных, получаем коэффициенты по F-статистике Фишера выясним статистическую значимость этой линейной модели в целом.

F>Fкр — модель статистически значимая Проверим статистическую значимость коэффициентов Оба коэффициента превышают табличное значение критерия Стьюдента и признаются статистически значимыми.

С учётом преобразований, сделанных при выполнении выравнивания, находим коэффициенты a и b искомой нелинейной функции Модель адекватна и пригодна для описания зависимости значений y от x.

Полученные значения записываем в таблицу 1.2.

8. Повторим п. 7 для другой нелинейной модели, из числа выбранных при выполнении п. 2.

Применим метод выравнивания для показательной функции.

Предположим, что все значения и положительны. Прологарифмировать равенство при условии, получим.

Обозначим:, тогда равенство примет вид.

т.е. задача свелась к отыскиванию параметров a и B, линейной функции. Однако в данном случае в качестве значений и необходимо использовать значения и .

Значение коэффициента a функции будет получен сразу, а значение коэффициента b — с помощью выражения .

№.	x.	y.
	4,04.	4,25.
	4,13.	4,27.
	4,21.	4,30.
	4,28.	4,29.
	4,36.	4,33.
	4,42.	4,33.
	4,48.	4,32.
	4,54.	4,38.
	4,60.	4,35.
	4,65.	4,40.
	4,70.	4,41.
	4,74.	4,44.
	4,79.	4,48.
	4,83.	4,48.
	4,87.	4,48.
	4,91.	4,52.

Применяем регрессионный анализ данных, получаем коэффициенты по F-статистике Фишера выяснить статистическую значимость этой линейной модели в целом.

F>Fкр — модель статистически значимая Проверим статистическую значимость коэффициентов Оба коэффициента превышают табличное значение критерия Стьюдента и признаются статистически значимыми.

С учётом преобразований, сделанных при выполнении выравнивания, находим коэффициенты a и b искомой нелинейной функции Модель адекватна и пригодна для описания зависимости значений y от x.

Полученные значения записываем в таблицу 1.2.

9. Для адекватных моделей рассчитать характеристику точности: среднюю относительную ошибку (в процентах) по формуле.

.

Для линейной функции.

Для показательной функции.

Для степенной функции.

Полученные значения записываем в таблицу 1.2.

По результатам исследования, очевидно, что показательная функция наиболее точно описывает зависимость x от y. показательной функции, S=26,99.

Модель адекватна и пригодна для использования.

Коэффициент детерминации линейной функции R2=0,95.