Аналитическая геометрия Декарта

«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в ал-гебраической, так и в геометрической части, имелись у ее творца не позд-нее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам «Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении». Но в других отношениях геометрия Декарта имела реши-тельные преимущества. Не говоря уже о том, что Декарт применял бо-лее развитую символику, что его изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих идей и предложений, весьма существенных для последующего.

Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем: какие линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Де-карта в то, что единственным общим методом математики является алге-браический. Сначала этот ответ формулируется в кинематических выра-жениях: геометрические линии — это те, которые «описаны непрерыв-ным движением или же несколькими такими последовательными движе-ниями. пз которых последующие вполне определяются им предшествую-щими.— ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру»⁶. Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются меха-нические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить»⁷. Примеры механических линий—спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся кривые, описывае-мые некоторым шарнирным механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот механизм, по идее сходный смезолабием предложенным Эратосфеном в III в. до н. э. для построения двух средних пропорциональных, Декарт изобрел между 1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными отрезками.

а: x₁ = x₁: x₂ = x₂: х₃ = … = x_n: b.

Уравнения описываемых этим прибором линий.

r² (x² + у²)^2n-1 = x⁴ⁿ (n = 0,1, 2,…).

Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.

Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых одним или несколькими непрерывными движения-ми, последовательно определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и заявление, что для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две или несколько линий можно переме-щать вдоль друг друга и что их пересечения образуют другие линии»⁸. Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт предвосхитил уже упоми-навшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе (1876), со-гласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно опи-сать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной транс-цендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометриче-ские и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитиче-скую форму и здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий, — пишет он, — которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какую-либо точную и определенную меру, обяза-тельно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии»⁹. В этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя значения х по данным значениям у, — первой координатой у него служила у.

В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраи-ческими, а механические — трансцендентными, мотивируя отказ от тер-минологии Декарта тем, что и механические линии не подлежат исклю-чению из геометрии.

Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит первую общую классификацию алгебраических кривых в зави-симости от степени их уравнений, отнеся к роду п кривые с уравнениями степени 2п — 1 и 2п. Классификация требовалась прежде всего для все-общей математики Декарта (стр. 30), а также была нужна в аналитиче-ской геометрии. Предложенное Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени 2п вообще не сложнее, чем с уравнением степени 2п — 1. Все трудности, связанные с четвертой степенью, писал он, при-водятся к третьей, а трудности, связанные с шестой степенью, — к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по порядкам мы обязаны Ньютону.

Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или порядкам имеет смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда ми-моходом, но вполне отчетливо, сформулировал фундаментальное предло-жение об инвариантности рода кривой при замене одной системы прямо-линейных координат другой: «Действительно, хотя для получения более короткого и удобного уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же, какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так, что-бы линия оказалась того же самого рода: это легко доказать»¹⁰. Впрочем, доказательство не приводится, да и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще отсутствовали.

В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ЕС, описанной точкой пересечения линейки GL и неопределенно продолжен-ной стороны CNK плоской прямолинейной фигуры NKL, сторона кото-рой KL движется вдоль данной прямой ВА, заставляя вращаться вокруг точки G линейку, неизменно проходящую при этом через точку L. При-нявGA, перпендикуляр к ВА, равным а, KL = b, NL = с, выбрав АВ за ось х и точку А за начало, Декарт обозначает «неопределенные и неизве-стные величины» СВ = у, ВА = х. Тогда на основании подобия тре-угольников СВК и NLK, с одной стороны, и CBL и GAL — с другой, быстро выводится уравнение линии ECG

уу = су? ху + ау? ас, так что эта линия первого рода и, как указывает без доказательства Де-карт, гипербола (пример этот подробно разобрали комментаторы латинского издания «Геометрии»).

Страница первого издания «Геометрии» Р. Декарта (1637): начало вывода уравнения линии ЕС

Заменяя прямую CNK другими линиями, можно получать таким образом бесконечное множество кривых. Так, если CNK есть окружность с центром L, то будет описана конхоида (не-сомненно, что прием Декарта является как раз обобщением античного определения конхоиды), а если CNK есть парабола с диаметром KB, то возникает кривая второго рода, именно та, которую Ньютон впослед-ствии назвал трезубцем (ср. далее стр. 108). Вообще, заявляет Декарт, если образующая кривая имеет род п, то описанная линия будет рода п -) — 1. Это одна из немногих ошибок Декарта, который не довел, видимо, до конца легкие, по его собственным словам, вычисления.

Большое место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов, рассматриваемых в биполярных координатах, и про-ведение нормалей. Вторая книга сочинения завершается краткими замечаниями о возможности распространения метода на про-странственные кривые посредством проектирования их точек на две вза-имно перпендикулярные плоскости и заявлением: «Я полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал, необходимых для познания кривых линий»¹³.

Конечно, в этих словах Декарта, как и в приведенной выше авторской оценке «Введения» Ферма, было несомненное преувеличение. Но действи-тельно, перед геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки немало спорили о том, имелась ли у Аполлония аналити-ческая геометрия и было ли творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ зависит от определения термина «аналитическая гео-метрия», который, как отмечалось в другой связи, понимается по-разному. Несомненно, что оба ученых чрезвычайно многим обязаны были древним и что в саму теорию конических сечений они не внесли каких-либо новых теорем, а также не построили ее в чисто аналитическом плане. И вместе с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент поистине новой геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали буквенным уравнениям кривых второго порядка. ордината координата алгебраический биполярный Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная методом древних самой алгебре, была причиной многочислен-ных комбинаций между средствами и объектом геометрического исследо-вания — комбинаций, которые должны были оставаться довольно чуж-дыми аналитической геометрии, в особенности поскольку последняя стре-милась превратить геометрические проблемы целиком в задачи исчисле-ния»¹⁴. И до тех пор, пока средством исследования оставалась геометри-ческая алгебра, синтетическое рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим, а в глазах некоторых ученых являлось принципиально господствующим. Ньютон, завершая свой вывод теоремы о том, что место к четырем прямым есть коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е. исполняемое не с помощью исчисления, но геометри-ческим построением, и изыскивалось древними»¹⁵. Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им начинает развиваться чисто аналитический ме-тод исследования геометрических образов, в принципе не нуждающийся в обращении к геометрическим построениям и опирающийся лишь на ал-гебраическое исчисление. Такова общая, идейная сторона дела. К этому следует добавить, что новая алгебра давала средства изучения кривых любого порядка, первые примеры чего имеются уже у Декарта¹⁶ (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что система коор-динат становилась свободной от связи с теми или иными исключительными точками и направлениями (например, диаметром и вершиной конического сечения), что приобретали право на существование отрицательные коор-динаты и т. д. Мы не говорим уже о том, что в новой геометрии впервые нашло явное выражение понятие о функции, заданной формулой.

В свете сказанного второстепенное значение имеют недостатки, при-сущие аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к то-му же менее совершенной алгеброй Виета, например не разработанность вопроса об отрицательных координатах или отсутствие на большинстве чертежей второй оси, а также то обстоятельство, что оба они ограничились немногими примерами приложения нового метода.

Современники восприняли новую геометрию с энтузиазмом. Уже в ла-тинских изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслу-живающие упоминания вещи.

В первом издаиии этот весьма распространенный в XVII в. труд назывался «Основы арифметики в числах и видах» (Arithmeticae in numeris et speciebus institutio).

Еще в переводе арабского трактата Ибн ал-Хайсама о параболических зеркалах, сделанном в XII в., употребляется оборот linea secunduin ordinem, т. е. «линия по порядку». Н. Орем в середине XIV в. писал о перпендикулярно приложенных отрез-ках — perpendiculariter applicatae.