Ограниченность интегрируемой функиии

Теорема 12.1 (необходимое условие интегрируемости функции). Интегрируемая на отрезке [а, Ь] функция / (.а) ограничена на этом отрезке. Доказательство. Предположим обратное, т. е. что функция /(а) не ограничена на [а, Ь]; тогда при любом разбиении отрезка [а, Ь она неограничена хотя бы на одном частичном отрезке. Пусть это будет отрезок [х₀, а,]. Возьмем на остальных частичных отрезках произвольные точки ?.(/ = 2, 3, …, //) и пусть.

В силу неограниченности /(а) на [а₀, а,] можно выбрать такую точку е (а₀, а,|, чтобы.

где М— произвольное положительное число. Тогда с учетом вида (12.3) интегральной суммы, а имеем:

Оказалось, что интегральная сумма, а больше любого числа Л/ > 0, т. е. она не имеет конечного предела при X -> 0 и, значит, /(а) нс интегрируема на отрезке [а, Ь], что противоречит условию теоремы. Теорема доказана. ?

Заметим, что обратное утверждение неверно: ограниченная на отрезке функция может быть не интегрируемой на нем. Например, функция Дирихле.

не интегрируема на отрезке [0, 1]. Действительно, при любом разбиении этого отрезка можно выбрать ^ рациональными точками, и тогда интегральная сумма (12.3) а = 1 (так как Да, + … + Да_я = 1); если же взять иррациональными точками, то о = 0. Следовательно, а не имеет предела (12.5) при X -" 0.