Прикладная статистика и основы эконометрики

Задача 16

Зависимость меду величинами x и y описывается функцией y = f (x, a, b), где a и b — неизвестные параметры. Найти эти параметры, сведя исходную задачу к линейной задаче метода наименьших квадратов (Линейной регрессии).

Оценить полученную точность аппроксимации.

Решение.

Сведем исходную задачу к линейной задаче МНК, для этого сделаем подходящую замену переменных.

Так как исходная зависимость имеет вид, то прологарифмировав исходное неравенство и введя новые переменные:

t = х3; A = lna; lny = s

Получаем задачу об определении коэффициентов линейной зависимости s = A + bt.

Рассчитаем параметры A и b уравнения линейной регрессии s = A + b· t. Для расчетов заполним таблицу.

— линейное уравнение регрессии

Можно было воспользоваться MS Excel, Анализ данных — Регрессия

.

Перейдем обратно к начальным данным:

A = lna; следовательно,

Получим:

Оценим полученную точность аппроксимации.

Так как полученная точность менее 5%, то модель достаточно точная.

Задача 2.16. Построение однофакторной регрессии Имеются данные по цене некоторого блага (Х) и количеству (Y) данного блага, приобретаемого домохозяйством ежемесячно в течении года.

Предполагается, что генеральное уравнение регрессии — линейное.

1. Найти оценки коэффициентов регрессии b0 и b1.

2. С надежностью 0,9 определить интервальные оценки теоретических коэффициентов регрессии.

3. Определить коэффициент детерминации и сделать соответствующие выводы о качестве уравнения регрессии.

4. С доверительной вероятностью 0,05 определить интервальную оценку условного математического ожидания Y при Х = 23.

Решение.

Найти оценки коэффициентов регрессии b0 и b1.

Генеральное уравнение регрессии — линейное: .

2. С надежностью 0,9 определим интервальные оценки теоретических коэффициентов регрессии.

Для уровня значимости =0,1 и числа степеней свободы k = n — 2 = 7 — 2 = = 5 критерий Стьюдента равен .

Дисперсии средние квадратичные отклонения коэффициентов и уравнения регрессии определим из равенств:

Для определения математической значимости коэффициентов b0 и b1 найдем t — статистику Стьюдента:

;

Сравнение расчетных и табличных величин критерия Стьюдента показывает, что или и или 9,987 > 2,5706, т. е. с надежностью 0,9 оценка b0 теоретического коэффициента регрессии 0 значима, оценка b1 теоретического коэффициента регрессии 1 значима.

Доверительные интервалы для этих коэффициентов равны:

Подставив числовые значения, значения коэффициентов b0 и b1, их средние квадратичные отклонения и значение для t имеем:

Одинаковые по знаку значения верхней и нижней границ измерений коэффициента 0 и 1 свидетельствует о его статистической значимости.

3. Определим коэффициент детерминации и сделаем соответствующие выводы о качестве уравнения регрессии.

Для определения коэффициента детерминации воспользуемся результатами расчетов.

По таблице 1 найдем:

общую ошибку:

ошибку объясняемую регрессией остаточную ошибку Причем имеем TSS = RSS + ESS

Тогда коэффициент детерминации равен Полученная величина коэффициента детерминации свидетельствует о том, что необъясненная ошибка составляет около 95,23% от общей ошибки. Уравнение качественное.

4. С доверительной вероятностью 0,05 определим интервальную оценку условного математического ожидания Y при Х = 23.

Дисперсия математического ожидания прогнозируемой величины yp равна Среднее квадратичное отклонение математического ожидания прогнозируемой величины равно С уровнем значимости =0,05 доверительный интервал для условного математического ожидания yp при данном xp равен:

или .

Задача 3.16. Построение и анализ множественной регрессии По данным, представленным в таблице, изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни (лет) Y от переменных: Х1 — ВВП в паритетах покупательской способности; Х2 — темпы прироста населения по сравнению с предыдущим годом, %; Х3 — темпы прироста рабочей силы по сравнению с предыдущим годом, %; Х4 — коэффициент младенческой смертности, %.

1. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите, какие факторы коллинеарны.

2. Постройте уравнение множественной регрессии, обосновав отбор факторов.

3. Проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедатичность, применив тест Гельфельда-Квандта.

4. Оцените статистическую значимость уравнения множественной регрессии. Какие факторы значимо воздействуют на формирование средней продолжительности жизни в этом уравнении?

5. Постройте уравнение множественной регрессии со статистически значимыми факторами.

Решение.

Воспользуемся MS Excel.

1. Построим матрицу парных коэффициентов корреляции. Установим, какие факторы коллинеарны.

Сервис — Анализ данных — Корреляция

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т. е. средняя ожидаемая продолжительность жизни, имеет тесную связь с коэффициентом младенческой смертности (ryx4=-0,969), с ВВП в паритетах покупательской способности (ryx1=0,780), с темпами прироста населения (ryx2=0,725). Однако факторы Х2 и Х3 тесно связаны между собой (rx2x3=0,874) и факторы Х2 и Х4 также тесно связаны (rx2x4=0,736), что свидетельствует о наличии коллинеарности.

Коллинеарность — зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

r (xjy) > r (xkxj); r (xky) > r (xkxj).

Коллинеарны факторы х2 и х3, х2 и х4, а также х3 и х4.

2. Построим уравнение множественной регрессии, обосновав отбор факторов.

Из модели исключим фактор х3, так как зависимая переменная слабо зависит от этого фактора и чтобы исключить мультиколлинеарность.

Сервис — Анализ данных — Регрессия

Уравнение множественной регрессии:

y = 75,438 + 0,045×1 — 0,045×2 — 0,239x4

3. Проведем тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедатичность, применив тест Гельфельда-Квандта.

Упорядочим по возрастанию значения переменной, затем исключим С центральных наблюдений, при этом (n — C)/2 > p, где р — число оцениваемых параметров, затем разделим совокупность на две группы и определим в каждой группе остаточные суммы S1 и S2 и находим их отношение R.

Гетероскедатичность по Y:

Критерий Табличное значение F-критерия

9,75 > 3,9685

Гетероскедатичность по X1:

Критерий Табличное значение F-критерия

201,08 > 3,9685

Гетероскедатичность по X2:

Критерий Табличное значение F-критерия

188,59 > 3,9685

Гетероскедатичность по X4:

Критерий Табличное значение F-критерия

11,540 > 3,9685

Все значения больше табличного значения F-критерия, следовательно, дисперсии остаточных величин не равны.

4. Оценим статистическую значимость уравнения множественной регрессии. Какие факторы значимо воздействуют на формирование средней продолжительности жизни в этом уравнении?

Fтабл = 3,9685

Так как F = 425,3 (см таблицу Вывод итогов) > Fтабл., то уравнение множественной регрессии статистически значимо.

Коэффициент Стьюдента при n = 77 и уровне значимости 0,05 равен t (77; 0,05) = 1,9921.

Так как расчетные значения коэффициентов t, меньше чем табличное только для фактора х2, следовательно фактор х2 — не значим, факторы х1 и х4 — значимы.

5. Построим уравнение множественной регрессии со статистически значимыми факторами.

Построим уравнение с факторами х1 и х4.

Y = 75,382 + 0,045Х1 — 0,240Х4.

Список используемой литературы регрессия аппроксимация дисперсия уравнение Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. — М. ЮНИТИ, 1998. — 1022 с.

Бородич С. А. Эконометрика: Учеб. пособие. — Мн.: Новое знание, 2001. — 408 с.

Кремер Н.Ш., Путко Б. А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. Проф. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. — 311 с.

Кулинич Е. И. Эконометрия. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 304 с.

Орлов А. И. Эконометрика: Учебное пособие для вузов / А. И. Орлов — М.: Экзамен, 2002. — 576 с.

www.