Научные основы физического моделирования

ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный аграрный университет»

имени Н. И. Вавилова Агоринженерный факультет Кафедра «Теплотехника ТГС и В»

РЕФЕРАТ

«Научные основы физического моделирования»

Выполнила: студентка I курса группа М-СТ-ТГС I

Синякина К. И Проверил: заведующий кафедрой д.т.н., профессор Стрельников Владимир Александрович Саратов 2014 г.

Введение

Моделирование физическое — вид моделирования, который состоит в замене изучения некоторого объекта или явления экспериментальным исследованием его модели, имеющей ту же физическую природу.

В науке любой эксперимент, производимый для выявления тех или иных закономерностей изучаемого явления или для проверки правильности и границ применимости, найденных теоретическим путём результатов, по существу представляет собою моделирование, так как объектом эксперимента является конкретная модель, обладающая необходимыми физическими свойствами, а в ходе эксперимента должны выполняться основные требования, предъявляемые к моделированию. В технике физическое моделирование используется при проектировании и сооружении различных объектов для определения на соответствующих моделях тех или иных свойств (характеристик) как объекта в целом, так и отдельных его частей. К физическому моделированию прибегают не только по экономическим соображениям, но и потому, что натурные испытания очень трудно или вообще невозможно осуществить, когда слишком велики (малы) размеры натурного объекта или значения других его характеристик (давления, температуры, скорости протекания процесса и т. п.).

В основе физического моделирования лежат теория подобия и анализ размерностей. Необходимыми условиями физического моделирования являются геометрическое подобие (подобие формы) и физическое подобие модели и натуры: в сходственные моменты времени и в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих явления для натуры, должны быть пропорциональны значениям тех же величин для модели. Наличие такой пропорциональности позволяет производить пересчёт экспериментальных результатов, получаемых для модели, на натуру путём умножения каждой из определяемых величин на постоянный для всех величин данной размерности множитель — коэффициент подобия.

Поскольку физические величины связаны определёнными соотношениями, вытекающими из законов и уравнений физики, то, выбрав некоторые из них за основные, можно коэффициенты подобия для всех других производных величин выразить через коэффициенты подобия величин, принятых за основные. Из наличия таких связей вытекает, что для данного физического явления некоторые безразмерные комбинации величин, характеризующих это явление, должны иметь для модели и натуры одно и то же значение. Эти безразмерные комбинации физических величин называются критериями подобия. Равенство всех критериев подобия для модели и натуры является необходимым условием физического моделирования. Однако добиться этого равенства можно не всегда, так как не всегда удаётся одновременно удовлетворить всем критериям подобия.

1. Подобие физических явлений и систем Физическое моделирование — метод экспериментального изучения различных физических явлений, основанный на их физическом подобии, т. е. изучение объектов одной физической природы с помощью объектов, имеющих другую физическую природу, но с одинаковым математическим описанием.

Научной основой моделирования физических процессов и обобщения полученных экспериментальных данных является теория подобия, которую можно применит при следующих условиях:

· отсутствие исчерпывающе точного математического описания явления на данном уровне развития науки или описание слишком громоздко и требует для расчётов большого объёма исходных данных, получение которых затруднительно;

· воспроизведение исследуемого физического явления в целях эксперимента в реальных масштабах невозможно, нежелательно или слишком дорогостояще.

Суть теории подобия состоит в создании лабораторной физической модели явления в уменьшенных масштабах, и проведении экспериментов на этой модели. Выводы и данные, полученные в этих экспериментах, распространяются затем на явление в реальных масштабах. Надёжные результаты можно получить лишь в случае соблюдения физического подобия реального явления и модели. Экспериментальные данные, полученные методом физического моделирования распространяются на реальное явление с учётом критериев подобия.

Подобие достигается за счёт равенства для модели и реального явления значений критериев подобия — безразмерных чисел, зависящих от физических (в том числе геометрических) параметров, характеризующих явление. Используя методы теории подобия, размерные физические величины, являющиеся факторами, в каком либо исследуемом процессе, можно определенным образом объединить в безразмерные комплексы.

Согласно ?-теореме Бакингема, число полученных безразмерных критериев всегда будет меньше числа входящих в них размерных физических величин. Выбрав безразмерные критерии в качестве новых определяющих факторов, можно значительно облегчить экспериментальные исследования за счет формального сокращения числа переменных под знаком функции отклика. Это способствует пониманию сложных физических процессов и помогает интерпретировать результаты, как экспериментальных исследований, так и численных расчётов, объём которых прогрессивно возрастает по мере развития численных методов и совершенствования ЭВМ.

1.1 Метод масштабных преобразований Метод масштабных преобразований используется в том случае, когда известны все дифференциальные уравнения и условия однозначности исследуемого процесса. Дифференциальные уравнения отражают наиболее общие черты явлений и не учитывают частных особенностей конкретного объекта или процесса. Частные особенности задаются условиями однозначности. Ими, как правило, являются: геометрическая форма и размеры объекта, в котором проходит изучаемый физический процесс; физические свойства рабочих тел или сред, участвующих в этом процессе; условия протекания процесса на границах системы (граничные условия).

В теплотехнике для обобщенного описания сложных процессов конвективного теплообмена и нестационарной теплопередачи используется ряд безразмерных критериев, полученных методами масштабных преобразований. Связь между этими критериями в каждом конкретном случае устанавливается эмпирически полученными критериальными уравнениями. Безразмерные комплексы, входящие в состав критериальных уравнений, подразделяются на определяющие и определяемые. Определяющими считаются комплексы, расположенные под знаком функции. К ним относятся безразмерные координаты: X = x/Lo; Y = y/Lo;

Z = z/Lo и критерии подобия: Re, Pe, Pr, Gr, Ar, Вi, Fo, Кi, которым отводится роль независимых переменных (факторов).

Определяемыми критериями (то есть функциями отклика), как правило, являются критерии Nu; Eu, безразмерные скорости W =? / ?o и безразмерные температуры? = ?t /?to.

Критерий Рейнольдса (Re) определяет соотношение сил инерции, зависящих от скорости потока ?, м/с, и сил молекулярного трения, зависящих от кинематической вязкости движущейся среды ?, м2/с. Он рассчитывается по формуле

Re =? ? Lo

? ,

где Lo — характерный размер сечения канала, по которому движется поток (как правило, принимается равным диаметру: Lo = d, или эквивалентному диаметру: Lo = dэ), м.

Критерий Пекле (Pe) является мерой соотношения конвективного переноса теплоты, зависящего от скорости потока ?, м/с, и молекулярного переноса, определяемого величиной коэффициента теплопроводности а=?/(ср??), м2/с. Этот критерий рассчитывается по формуле:

где ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, Дж/(кг?°С);

? — плотность среды, кг/м3;? — теплопроводность среды, Вт/(м?°С).

Критерий Прандтля (Рr) определяет взаимное подобие температурных и скоростных полей движущегося потока. Этот критерий является производным от двух других критериев: Пекле и Рейнольдса, то есть

где? — динамическая вязкость среды (?=???), кг/(с?м).

Можно заметить, что критерий Прандтля целиком образован из параметров, определяющихся теплофизическими свойствами вещества, и, следовательно, сам является безразмерным теплофизическим параметром. Для жидкостей этот критерий существенно зависит от температуры, а для газов он практически постоянен. Для веществ, имеющих значение Прандтля, равное единице, температурные и скоростные поля оказываются полностью подобными. Это значит, что уравнения, определяющие распределение температуры и скорости в движущемся потоке таких веществ, становятся тождественными.

Критерий Грасгофа, (Gr), характеризует соотношение подъемной силы, возникающей в жидкостях и газах вследствие разности плотностей, и силы молекулярного трения где g — ускорение свободного падения, равное 9,81 м/с2;

? — температурный коэффициент объемного расширения, 1/°С;

?t — разность температур, °С.

Этот критерий используется при исследовании конвективных течений и процессов теплопередачи в условиях свободной конвекции. При вынужденной конвекции с большими скоростями естественные конвективные токи практически не влияют на конечный результат.

Поэтому подъемной силой пренебрегают, и критерий Грасгофа исключается из списка определяющих факторов.

Критерий Архимеда, (Аr), по сути представляет собой модифицированный критерий Грасгофа, имея тот же физический смысл.

Так как где? и? о — плотности жидкости, кг/м3, в точках с разными температурами, то вместо Gr можно записать:

при ?=constAr=Gr

Однако специфика критерия Архимеда заключается в том, что его удобно использовать при рассмотрении процессов свободного движения в жидкости, содержащей инородные вкрапления: твердые частицы, пузырьки или капли другой жидкости. В этом случае? и? о — соответственно плотности потока и вкраплений инородной фазы, кг/м3.

Критерий Био (Bi) численно характеризует соотношение внутреннего (определяемого теплопроводностью твердого тела? т, Вт/(м?°С)) и внешнего (определяемого коэффициентом теплоотдачи с поверхности ?, Вт/(м2?°С)) термических сопротивлений в процессе нестационарной теплопередачи при конвективном нагреве или охлаждении массивных тел конечной толщины Lo = ?, м.

Критерий Фурье (Fo) по сути является безразмерным временем нагрева или охлаждения массивного тела толщиной ?, м, изготовленного из материала со следующими теплофизическими свойствами: плотностью ?, кг/м3; удельной теплоемкостью с, кДж/(кг?°С); теплопроводностью? т, Вт/(м?°С) где? — реальное время, с.

Критерий Кирпичева (Кi) есть мера отношения количества теплоты, подводимой извне q, Вт/м2, к теплоте, передаваемой теплопроводностью внутрь тела в процессе нестационарной теплопередачи при граничных условиях второго рода (нагрев тепловым потоком) где tf — температура поверхности, °С;

to — начальная температура тела, °С.

Критерий Нуссельта (Nu) является одним из основных определяемых критериев. Он используется для обобщенного представления результатов экспериментальных исследований конвективной теплоотдачи в различных условиях. Этот критерий часто называют безразмерным коэффициентом теплоотдачи, так как он количественно характеризует интенсивность конвективного переноса теплоты Критерий Нуссельта не следует путать с критерием Био. В формулу Nu входит? жидкости, а в формулу Bi — значение? т твердого тела.

Кроме того, Nu является критерием определяемым, а Bi — определяющим. Критерий Эйлера (Eu) представляет собой отношение силы давления к силам инерции потока где? Р — разность давлений Па;? — скорость движения потока, м/с.

В случае, когда исследователь не имеет возможности получить аналитическое описание изучаемого объекта из-за сложности и многообразия происходящих в нем процессов, для получения критериев подобия используется метод анализа размерностей,

1.2 Метод анализа разномерностей При исследовании процессов для которых математическое описание неизвестно для получения безразмерных критериев и обоснования общего вида критериальных зависимостей используется метод анализа размерностей.

Все используемые современной наукой физические величины подразделяются на основные и производные.

Основными называются величины, которые условно принято считать независимыми от других.

Производными считаются все остальные величины, которые могут быть выражены через основные при помощи известных физических законов и соотношений.

Теоретически совершенно безразлично, какие величины считать основными, а какие — производными. Однако на практике в качестве основных удобнее выбирать те величины, которые могут быть воспроизведены и измерены с наибольшей точностью. Отрасли современной науки используют всего 7 основных величин: L, M, T, ?, I, J, N. Все остальные физические величины являются производными и могут быть выражены через основные при помощи известных физических законов и соотношений.

Связь любой производной величины с основными величинами определяется формулами размерности. Под размерностью физической величины понимается выражение в форме степенного одночлена, составленное из произведений символов основных физических величин в различных степенях и отражающее связь данной физической величины с основными величинами системы.

Размерность принято обозначать символом dim (от английского dimension — размер). Формула размерности любой производной физической величины х имеет следующий общий вид Например, размерность скорости dim? = LT-1; ускорения dim a = LT-2;

силы dim F = LМT-2.

Смысл этих формул заключается в том, что функция dim x определяет, во сколько раз должно измениться численное значение данной физической величины х при переходе на иной масштаб измерения основных величин в выбранной системе.

Размерность физической величины — это более общая характеристика, чем определяющее уравнение связи, так как одна и та же размерность может быть присуща величинам, имеющим различную качественную сторону и отличающимся по форме определяющего уравнения.

Алгебра размерностей. Понятие размерности распространяется не только на производные, но и на основные величины. Согласно первой теореме, выражения, определяющие размерность всех основных физических величин, должны формально совпадать с их символами, то есть

— размерность длины dim l = L ;

— размерность массы dim m = M ;

— размерность времени dim t = T ;

— размерность температуры dim T =? .

Над размерностями можно производить действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. Действия сложения и вычитания размерностей не имеют смысла. При выполнении алгебраических операций с размерностями следует руководствоваться следующими правилами.

1. Размерность произведения двух величин равна произведению размерностей этих величин если P = R? Q > dim Р = (dim R)?(dim Q).

2. Размерность частного от деления двух величин равна частному от деления размерностей этих величин:

если P = R / Q > dim Р = (dim R) / (dim Q).

3. Размерность величины, возведенной в степень, равна возведенной в ту же степень размерности этой величины:

если P = Rn > dim Р = (dim R) n.

4. Если каждая из величин R и Q является производной и зависит от основных, то результирующая размерность может быть получена по правилам операций со степенными функциями.

Для безразмерных величин, так же как и для размерных, может быть получена функция dim ?, определяющая их размерность.

Безразмерная величина, так же как и размерная, может быть выражена через основные величины следующим образом

dim? = LoMoTo? o = 1.

Основная идея использования метода анализа размерностей состоит в том, что при изучении любого сложного многофакторного процесса, необходимо, прежде всего, выделить из полного списка переменных те факторы, связь между которыми строго определена в силу действия известных физических законов.

Это можно сделать, образовав ряд безразмерных комплексов из величин, имеющих зависимые размерности, после чего для получения полного представления о закономерностях изучаемого процесса остается лишь получить неизвестную зависимость между образованными безразмерными комплексами. Эта задача и должна решаться в процессе исследования экспериментальным путем. Такой подход позволяет значительно сократить количество опытов и снизить трудоемкость экспериментальных исследований.

Понятие о безразмерных величинах. Кроме размерных физических величин существуют так называемые безразмерные величины. Это? теорема Бэкингема. Эта теорема служит научной основой для практического использования метода анализа размерностей. Она формулируется следующим образом. Любая математическая зависимость между размерными физическими величинами всегда может быть представлена в виде уравнения между безразмерными комплексами, образованными из тех же физических величин (числами ?). При этом количество определяющих безразмерных комплексов всегда меньше количества размерных физических величин на число величин, имеющих независимые размерности.

2. Основные понятия теории подобия Все физические явления и процессы подразделяются на разнородные, аналогичные, качественно-одинаковые, явления одной группы, подобные и тождественные.

Разнородными считаются явления разной физической природы, описываемые разными по форме дифференциальными уравнениями.

Аналогичными считаются явления разной физической природы, описываемые одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями.

Например, явления теплопроводности и электропроводимости.

Качественно-одинаковыми считаются явления одной физической природы, описываемые одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями и различающиеся только условиями однозначности. Такие явления называются явлениями одного класса.

Классифицируя процессы по их частным особенностям, внутри каждого класса принято выделять группы явлений, совокупность качественно одинаковых физических процессов, описываемых одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями и одинаковыми по форме и содержанию условиями однозначности. Различие между процессами одной группы заключается только в том, что размерные величины, входящие в условия однозначности (факторы), могут иметь различные численные значения.

В пределах каждой группы могут быть выделены подобные явления.

Подобными называются такие явления одной группы, у которых одноименные определяющие безразмерные критерии подобия имеют одинаковую величину.

Тождественные процессы являются предельным частным случаем подобия, при котором одновременно с равенством безразмерных критериев подобия выполняется дополнительное условие о равенстве значений всех размерных переменных, входящих в эти критерии.

Приведенная классификация позволяет строго сформулировать следующее основное условие подобия физических процессов: подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, относиться к одной группе явлений и иметь одинаковые численные значения одноименных определяющих безразмерных критериев.

ньютон масштабный фурье размерность

3. Основы физического моделирования Со свойством подобия мы впервые сталкиваемся в геометрии. Для примера на рис. 1 показаны геометрически подобные объекты двух разных форм.

Условием геометрического подобия является пропорциональность всех сходственных линейных размеров объектов. Другими словами, постоянство отношений всех размеров модели, м, к соответствующим размерам натуры, м. Математическая запись этого условия имеет вид:

где СL — безразмерная константа геометрического подобия.

Геометрическое подобие является одной из форм подобия физических процессов. Оно рассматривается как первое необходимое условие моделирования реальных объектов. Геометрическое подобие модели и натуры должно соблюдаться при решении любых экспериментальных задач, к какому бы классу явлений они ни относились. Кроме геометрического подобия, при моделировании технических объектов и систем (например, теплоэнергетических или теплотехнологических установок, работа которых основана на явлениях гидрогазодинамики и сложных формах теплои массообмена) дополнительно должны выполняться условия подобия, определяемые спецификой конкретных физических процессов, происходящих в таких системах. По физической сути выделяют: кинематическое, динамическое, тепловое подобие и подобие нестационарных процессов.

Условие кинематического подобия означает, что в сходственных точках геометрически подобных систем все скорости движущейся среды ?, м/с, параллельны и пропорциональны. Это условие иллюстрируется рис. 2, на котором показано движение жидкости в геометрически подобных каналах.

Математическая запись условия кинематического подобия имеет следующий вид:

Из формулировки условия кинематического подобия следует, что для его выполнения прежде всего необходимо соблюдать геометрическое подобие моделируемых объектов.

Динамическое подобие заключается в том, что в сходственных точках геометрически подобных объектов силы f, Н, действующие на жидкость, параллельны и пропорциональны, то есть где Сf — безразмерная константа динамического подобия.

Необходимым условием динамического подобия объектов является предварительное соблюдение условий геометрического и кинематического подобия.

Тепловое подобие заключается в том, что в сходственных парах точек геометрически подобных объектов разности температур? t, °С, пропорциональны, то есть где Сt — безразмерная константа теплового подобия.

Условия теплового подобия иллюстрируются рис. 3, на котором показаны характерные разности температур при конвективном теплообмене в случае вынужденного движения жидкости в геометрически подобных каналах.

Теоретически, если не пренебрегать подъемной силой, возникающей в потоке движущейся жидкости в результате разности температур, необходимыми условиями соблюдения теплового подобия при моделировании процессов конвективного теплообмена следует считать геометрическое, кинематическое и динамическое подобие объектов.

Однако общеизвестно, что в процессах теплообмена, происходящих в условиях вынужденной конвекции, влияние подъемной силы пренебрежимо мало. Поэтому реально для соблюдения условий теплового подобия при моделировании таких процессов достаточно ограничиваться условиями геометрического и кинематического подобия.

Подобие нестационарных процессов. Нестационарными называются процессы, параметры которых изменяются во времени по определенным законам. В математических моделях таких процессов всегда присутствует дополнительная переменная — время ?, с. Поэтому при физическом моделировании нестационарных процессов помимо перечисленных выше условий геометрического, кинематического и динамического подобия должна соблюдаться еще и пропорциональность соответствующих промежутков времени, то есть где С? — безразмерная константа подобия нестационарных процессов, определяющая масштаб времени.

Кроме перечисленных выше констант для соблюдения условий полного подобия явлений необходимо так же, чтобы все физические характеристики участвующих в процессе веществ и материалов в сходственных точках объекта были пропорциональны. Так, например где? — плотность, кг/м3;

? — кинематическая вязкость, м2/с;

? — коэффициент теплопроводности, Вт/(м?°С);

ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, кДж/(кг?°С);

С?; С?; С?; Сc — безразмерные константы подобия соответствующих физических свойств.

Таким образом, согласно теории подобия любой сложный процесс, воспроизведенный на геометрически подобной модели, можно рассматривать как совокупность подобных элементарных процессов, каждый из которых происходит в своем масштабе, характеризующемся численным значением соответствующей константы подобия. Между константами подобия существуют строгие функциональные зависимости, которые легко найти из условия постоянства одноименных определяющих критериев.

3.1 Теорема Ньютона Первая теорема или теорема Ньютона, определяет необходимые условия подобия и формулируется следующим образом: у подобных явлений в любых парах сходственных точек все одноименные критерии подобия численно одинаковы.

Если обозначить определяемый критерий, используемый в качестве безразмерной функции отклика любого заданного физического процесса, символом? о, а ряд критериев, являющихся безразмерными определяющими факторами того же процесса, символами: ?1; ?2; ?3 … ?n, то математическая запись первой теоремы подобия будет иметь вид Математический символ idem означает неизменность, то есть равенство численных значений. Так как отношение любой неизменной величины к самой себе всегда равно единице, математическая запись этой теоремы может быть представлена в другой интерпретации Следует заметить, что при переходе от одной пары сходственных точек к другой безразмерные критерии вполне могут изменять свои численные значения, однако в силу подобия процессов отношение одноименных критериев в любых сходственных точках все равно должно остаться равным единице.

3.2 Теорема Федермана Вторая теорема подобия называется теоремой Федермана. Она формулируется следующим образом: решение любой системы дифференциальных уравнений всегда может быть представлено в виде некоторой функциональной зависимости между рядом безразмерных критериев. Эта зависимость будет единой для целой группы подобных явлений.

Даже в тех случаях, когда аналитическое получение какой-либо конкретной критериальной зависимости связано с непреодолимыми математическими трудностями, можно утверждать, что соответствующая неизвестная функция обязательно существует. Это значит, что математическое описание целого ряда подобных процессов в критериальном виде одинаково.

Значение второй теоремы подобия состоит в том, что она позволяет, не интегрируя сложные системы дифференциальных уравнений, получать их обобщенные решения в критериальном виде, заменяя при этом точные аналитические зависимости более простыми аппроксимирующими функциями, коэффициенты которых всегда могут быть найдены из опыта.

При этом критериальная форма представления факторов и функций отклика в таких зависимостях дает возможность распространения результатов единичного эксперимента на целую серию подобных явлений одной группы.

3.3 Теорема Кирпичева-Гухмана Третья теорема подобия — теорема Кирпичева-Гухмана определяет достаточные условия подобия и является научной основой физического моделирования явлений. Она формулируется следующим образом: подобными будут те явления, условия однозначности которых подобны, а критерии, составленные из величин, входящих в условия однозначности (то есть определяющие критерии), равны.

Согласно этой теореме, если обеспечить взаимное равенство всех определяющих критериев для каких-либо двух явлений, то эти явления обязательно окажутся подобными. Такой вывод следует из совместного применения первой и второй теорем.

Действительно, при равенстве всех определяющих критериев, находящихся под знаками функций, и полной идентичности математической записи самих критериальных функций, единых для рассматриваемой группы подобных явлений, все одноименные безразмерные критерии отклика (то есть определяемые критерии) также должны быть равными между собой. Таким образом, равными в данном случае окажутся не только определяющие, но и определяемые критерии.

А это, согласно первой теореме, является необходимым условием подобия физических процессов. Следовательно, при равенстве всех одноименных определяющих критериев физические процессы обязательно будут подобными.

Заключение

Используя методы теории подобия, размерные физические величины, являющиеся факторами в каком-либо исследуемом процессе, можно определенным образом объединять в безразмерные комплексы, называемые критериями подобия. При этом, согласно ?-теореме Бэкингема, число полученных безразмерных критериев всегда будет меньше числа входящих в них размерных физических величин.

Выбрав безразмерные критерии в качестве новых определяющих факторов, можно значительно облегчить экспериментальные исследования за счет формального сокращения числа переменных под знаком функции отклика. Это дает возможность значительно уменьшить требуемое количество опытов, упростить искомую математическую модель изучаемого процесса и тем самым повысить эффективность эксперимента.

1. Исаченко В. П. Теплопередача: Учеб. для студентов энергетических вузов и факультетов / В. П. Исаченко, В. А. Осипова, А. С. Сукомел. — М-Л.: Энергия, 1981. — 416 с.

2. Налимов В. В. Теория эксперимента / В. В. Налимов. — М.: Наука, 1971. — 208 с.

3. Налимов В. В. Логические основания планирования эксперимента В. В. Налимов, Т. И. Голикова. -2-е изд. -М.: Металлургия, 1981. -152с.

4. Семенов Б. А. Инженерный эксперимент в промышленной теплотехнике, теплоэнергетике и теплотехнологиях: учеб. пособие / Б. А. Семенов. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2009. 288 с.

.ur