Расчёт электрических цепей

ЗАДАНИЕ № 1

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

В соответствии с вариантом, заданным двумя последними цифрами шифра, указанного в зачетной книжке, выписать из табл. 1.1 и 1.2 условия задачи и выполнить следующее:

1. Начертить схему электрической цепи с обозначением узлов и элементов ветвей, соблюдая требования ЕСКД.

2. Определить и составить необходимое число уравнений по законам Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

3. Определить токи ветвей методом контурных токов и узловых потенциалов и свести их в таблицу.

4. Проверить результаты расчетов по уравнениям баланса мощностей.

5. Определить ток в первой ветви методом эквивалентного генератора.

Таблица 1.1

УСЛОВИЯ К ЗАДАНИЮ № 1.

Таблица 1.2

ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

РЕШЕНИЕ:

Электрическая схема:

Дано: = 5 Om; = 6 Om; = 7 Om; = 8 Om;

= 9 Om; = 10 Om;

E2= 22 B; E3 = 23B; J =1A.

Для нахождения количества контуров упростим схему:

Подставим вместо источника J эдс ER6= 1А·

Определим количество узлов и контуров.

Узлов = 4;

Контуров =4.

Составим необходимое количество уравнений по законам Кирхгофа.

По первому закону n = У -1 =3;

По второму n = К =3.

Общее количество уравнений N = 3+5=8.

По первому закону Кирхгофа:

Узел с:

Узел а:

Узел b:

По второму закону Кирхгофа.

Для контура 1:

Для контура 2 :

Для контура 3:

Подставим числовые значения:

Рассчитаем токи методом контурных токов (МКТ).

В данной схеме 3 независимых контура. Значит и уравнений будет тоже 2.

где Подставим полученные значения в систему уравнений:

Решим уравнения и найдем контурные токи.

Выразим из первого уравнения через, из третьего через и подставим во второе.

Подставим это выражение в уравнение 2,3

Составим новую систему уравнений

Выразим из первого уравнений через

Подставим во второе уравнение

Найдем ,

Далее выразим истинные токи через контурные токи:

Определим баланс мощности

. = 72.953 Вт.

= 73.29.

Допускается расхождение

Баланс сходится, значит расчет верен.

Определим токи во всех ветвях методом узловых потенциалов.

Выберем в качестве нулевого узла узел «с». Необходимо найти потенциалы узлов a, b, d.

Вычислим собственные проводимости этих узлов:

=

Общая проводимость этих узлов:

Находим узловые токи:

В узле «а»:

Составим систему уравнений для нахождения потенциалов узлов по методу узловых потенциалов.

Подставляем числовые значения

Решим эту систему и найдем потенциалы узлов. Выразим из первого уравнения через .

Подставим полученный результата во второе уравнение.

=-3.22 + 0.322· - 0.133·

Подставим в третье уравнение.

=-1.734 — 0.134 + 0.344·

Запишем новую систему.

Выразим из первого уравнения через

Подставим во второе уравнение

70.7· =1015

=14.36 В

Найдем ==10.58 В.

Найдем = - 0.17 В.

Рассчитаем токи

Как видно, токи, полученные методом контурных токов и методом узловых потенциалов примерно равны. Погрешности объясняются округлением результатов вычислений.

Определение тока методом эквивалентного генератора.

Найдем ток .

Определим токи в ветвях этой схемы методом контурных токов.

Найдем и и выразим через них истинные токи в ветвях этой схеме.

=

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника равно входному сопротивлению относительно выводов «ac» пассивного двухполюсника.

Преобразуем схему

Тогда

Окончательная схема имеет вид

По закону Ома:

ЗАДАНИЕ № 2

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Выписать из табл. 2.1 и 2.2 условия задания и выполнить следующее.

1. Начертить схему электрической цепи, соблюдая требования ЕСКД.

2. Составить уравнения по законам Кирхгофа для токов в интегро-дифференциальной и символической формах.

3. Применить один из методов расчета линейных электрических цепей. Опре-делить комплексные действующие токи во всех ветвях цепи. Записать выра-жения для мгновенных значений токов. Частота тока во всех вариантах

4. ѓ= 400 Гц.

5. Построить топографическую диаграмму для цепи, совмещенную с векторной диаграммой токов.

6. Обозначить произвольно начала двух катушек в любых двух ветвях и преду-смотрев взаимную индуктивную связь М между ними, записать уравнения, составленные по законам Кирхгофа в интегро-дифференциальной и в символической формах.

7. Определить показания ваттметра цепи.

P=R_e

УСЛОВИЯ К ЗАДАНИЮ № 2.

Таблица 2.1

ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЦЕПИ

Таблица 2.2

ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

РЕШЕНИЕ:

Исходные данные

= 2 Ом; ;

=0,007 Гн; =0,007 Гн;

=4 мкФ; =5 мкФ;

; ;.

Составим уравнения по законам Кирхгофа в интегро-дифференциальной и символической формах. Направление токов выберем произвольно.

Перейдем от мгновенных значений ЭДС к комплексам действующих значений.

??=2•р•f=2•3.14•400=2513.27 рад/с

Интегро-дифференциальная форма.

Комплексная форма.

Где

=2+j17.59=17.7•

= - j•99.47=99.47•

=8 — j61.98=62.5•

3. Определим комплексные действующие токи во всех цепях.

Применим метод узловых потенциалов. Найдем проводимости цепей.

Пусть, тогда по методу двух узлов (частный случай метода узловых потенциалов) имеем:

.

Теперь рассчитаем токи.

Проверим уравнения, составленные по законам Кирхгофа.

1)

2)

()•(- j•99.47)=-16.47-J17.675

3)

(

4)

Как видно, все уравнения сошлись.

4. Векторная диаграмма, совмещенная с топографической.

Найдем потенциалы остальных точек.

1)

2)

3)

Небольшие неточности в неравнозначности связаны с погрешностями расчетов.

Построим диаграмму.

5. Взаимоиндукция.

Обозначим начала катушек и запишем уравнения, составленные по законам Кирхгофа. M — взаимоиндукция.

1)

2)

3)

В символической форме:

1)

2)

3)

6. Определить показание ваттметра.

P=Re[=

P=U· I·==8.178 Вт.

ЗАДАНИЕ № 3

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Выписать из табл. 3.1 и 3.2 условия задания и выполнить следующее:

1. Начертить схему электрической цепи с обозначением узлов и элементов ветвей.

2. Рассчитать переходный процесс классическим и операторным методами: т. е. определить для тока в одной из ветвей и для напряжения на одном из элементов ветвей в функции времени.

3. Построить графики переходных процессов в функции времени.

4. Определить энергию, рассеиваемую на одном из резисторов цепи в переходном процессе.

Примечание: символу «K «соответствует разомкнутое состояние ключа до коммутации.

Таблица 3.1

ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЦЕПИ

Таблица 3.2

ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

РЕШЕНИЕ:

Исходные данные:

R1 =10 Ом; R3=40 Ом ;

E1=12 В; С=10мкФ;

L=100 мГн.

1. Расчет классическим методом.

1) Расчет режима до коммутации (при t = 0_)

i₁(0_) = i₂(0_)=

i₃ (0_)=0

u_c(0₊)= 0

по независимым начальным условиям (законам коммутации):

i₂(0₊)= i₂(0_)=

u_c (0₊)=u_c(0_)=0

2) Составим характеристическое уравнение

Z (p)==

Подставляем числовые значения:

40· 10^-5·0.1·p²+(40·10·10^-5·+0.1)p+50=0

4· 10^-5·p²+0.104·p+50=0

Найдем корни уравнения:

P1,2=

P1−636.675c-1

P2−1963.325c-1

Корни действительные и разные, значит переходной процесс будет апериодическим.

3) Запишем свободную составляющую тока i₂

i_{2 св} (t)=A₁ · +A·,

где А_1, А₂ — постоянные интегрирования.

<, поэтому экспонента с показателем p₂t будет заухать быстрее, чем с показателем p₁t.

4) Расчет установившегося режима после коммутации.

i₂ пр = i₁ пр=

i_{3 пр}=0

u_{c пр}= i_{2 пр} · 2.4В

5) Свободные составляющие токов напряжений при t=0₊ найдем как разницу между переходными и принужденными величинами.

i_{2 св} (0₊)= i₂ (0₊) — i_{2 пр}= 0.24−0.24=0

u_{c св} (0₊)= u_c (0₊) — u_{c пр}=0−2.4=-2.4 В по второму закону Кирхгофа для свободны составляющих:

L

=

6) Определим постоянные интегрирования по начальным условиям

Подставим в эти уравнения при

Из первого уравнения имеем А₁=-А₂

Подставим это выражение во второе и получим А₂

-· p₁+

A

A

7) Ток i₂(t) найдем как сумму его принужденной и свободной составляющих.

(t)=+ = A₁ · +A₂·=0.24 -0.180 912·, А Для проверки подставим в это уравнение, получим ()=0.24А, что совпадает с расчетом по п. 1.

2. Расчет операторным методом.

Определим

Расчет режима до коммутации:

1) Начальные условия:

2) Составим систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа.

Выразим из 2 уравнения, из 3 — и подставим в первое.

Т.к., то Подставим числовые значения.

Найдем корни уравнения .

Корни действительные и разные. Значит, переходной процесс будет апериодическим.

3) Для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся формулой разложения для простых корней.

В соответствии с этой формулой ток будет равен:

Напряжение

4) Определим энергию, рассеивающуюся на при переходном процессе. Переходной процесс заканчивается примерно при T=4t, где t — наименьший по модулю корень характеристического уравнения.

5) Построим графики переходных процессов.

Для тока

Для