Нахождение аппроксимирующих формул

КУРСОВАЯ РАБОТА

Нахождение аппроксимирующих формул

В настоящее время большое значение придается умению использовать компьютерные технологии для выполнения расчетов различной сложности, для организации безошибочного документооборота как внутри одной фирмы, так и между различными юридическими лицами. Серийный выпуск персональных компьютеров привел к качественному изменению в области обработки информации. Сегодня важно свободно владеть ПК при работе с текстовыми и графическими редакторами и табличными процессорами, внедрять работу на ПК в повседневную практику.

При решении подобных задач широко применяются офисные приложения Microsoft Word и Microsoft Excel, входящие в состав пакета Microsoft Office Enterprise, а так же приложение математического пакета Parametric Technology Corporation MathCad.

В данной курсовой работе на примере задачи нахождения аппроксимирующих формул рассматриваются выполнения расчетов с помощью Microsoft Excel и PTC MathCad.

Примером функции в данной работе будет дана зависимость скорости расхода воздуха Q в косозубом шестеренном пневмодвигателе К3М от числа оборотов вала n в безразмерных величинах.

Пневмодвигатель (от греческого Pnйuma — дуновение, воздух), пневматический двигатель, пневмомотор — энергосиловая машина, преобразующая энергию сжатого воздуха в механическую работу. Наибольшее распространение получили объёмные пневмодвигатели (поршневые и ротационные). Пневмодвигатель применяются для привода различных инструментов (дрелей, гайковёртов, отбойных молотков, шлифовальных головок), обеспечивая безопасность работы во взрывоопасных местах (со скоплением газа, угольной пыли), в среде с повышенным содержанием влаги.

Пневмодвигатель шестеренный косозубый модернизированный К3М (рис. 1) предназначен для привода различного горного и горношахтного оборудования. Пневмодвигатель изготавливается во фланцевом исполнении (К3МФ-Г) и на лапах (К3МЛ-Г). Поставляется в любом из указанных исполнений, по требованию заказчика.

Таблица 1

Рис. 1. Пневмодвигатель шестеренный косозубый К3М

На основании проведенных испытаний пневмодвигателя, получили следующие значения таких параметров, как скорость расхода воздуха и число оборотов вала. Результаты измерений занесли в таблицу.

Таблица 2. Зависимость скорости расхода воздуха Q в косозубом шестеренном пневмодвигателе К3М от числа оборотов вала n в безразмерных величинах

В данной курсовой работе необходимо найти аппроксимирующую зависимость скорости расхода воздуха M в косозубом шестеренном пневмодвигателе К3М от числа оборотов вала n в безразмерных величинах.

Для того чтобы выбрать аналитическую зависимость, нужно построить график эмпирических данных по таблице 2 (рис. 2).

Рис. 2. График зависимости таблично заданных значений M_i и n_i.

По положению точек можно выбрать вид аналитической зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Проанализировав полученный график, можно сделать вывод, что подходящим видом зависимости будет являться: линейная и полиноминальная второй степени, так как графики этой функции похожи на кривую зависимости экспериментальных данных.

1. Расчетные формулы

1.1 Метод наименьших квадратов

В любую аналитическую формулу входят постоянные коэффициенты, величина которых существенно влияет на вид функции и на её значение. Следовательно, в нашем случае коэффициенты, будут переменными параметрами, и функция запишется в общем виде:

(1.1)

где — подбираемые коэффициенты, M_i — i-ые значения расхода воздуха, n — число оборотов вала.

Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной теоретической функции от заданных эмпирических значений будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов таким образом (т.е. в выборе одной кривой из множества), чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

(1.2)

где — коэффициенты аппроксимации,

Для того чтобы найти набор коэффициентов, при которых достигается минимум функции S, определяемой формулой (1.1), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных равенство нулю частных производных.

Таким образом, нахождение коэффициентов, сводится к решению системы:

(1.3)

Если коэффициенты входят линейно, то система дифференциальных уравнений в частных производных преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений. Эта система может быть решена любым методом: методом Гаусса, матричным методом, по формулам Крамера и т. д.

Конкретный вид системы (1.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1.1).

В случае линейной аппроксимации формула (1.2) примет вид:

Возьмем две частные производные первого порядка и приравняем их к нулю. Система уравнений (1.3) примет вид:

Разделим уравнения на 2 и раскроем скобки:

Вынесем неизвестные и за знак суммы, так как они не зависят от индекса «i», и перенесем слагаемые, не содержащие неизвестных, в правую часть. Окончательно получим систему линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и :

(1.4)

В случае квадратичной аппроксимирующей зависимости, вида (1.1.1), выполнив аналогичные преобразования, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными и :

(1.5)

1.2 Оценка статистических параметров системы

Напомним некоторые статистические оценки. Наблюдаемые значения величин n_i, M_i можно рассматривать как выборочные значения двух случайных величин n и M. По выборочным данным можно найти выборочные средние и выборочные квадратичные отклонения n и M, а также выборочный коэффициент корреляции, а именно:

(1.6)

(1.7)

Для вычисления можно применить и более простые формулы, которые выводятся в курсе теории вероятностей с помощью простых алгебраических преобразований:

(1.8)

(1.9)

Здесь — выборочные средние величин n, M; - выборочные квадратичные отклонения величин n, M; r — выборочный коэффициент корреляции.

Известно, что линейное уравнение (1.5), называемое в статистике уравнением линейной регрессии, проходит через точку, а коэффициент a₂, называемый в статистике коэффициентом регрессии, связан с коэффициентом корреляции r. Имеют место следующие соотношения:

(1.10)

(1.11)

Коэффициент корреляции характеризует меру линейной связи между величинами n, M и может принимать значения в пределах от -1 до 1. Чем ближе к единице | r |, тем теснее линейная связь между n, M. Если | r | = 1, то M линейно зависит от n, т. е. выполнено соотношение:

M_i=a₁+a₂n_i,

поэтому ошибка представления эмпирических данных равна 0.

1.3 Оценка точности аппроксимации

аппроксимация excel точность формула

Мера ошибки при аппроксимации функции в соответствии с данным выше определением равна:

.

С целью оценки относительной погрешности при аппроксимации функции рассматривают величину суммарной погрешности по отношению к общему разбросу данных. Общий разброс данных складывается из отклонений теоретических значений от среднего и эмпирических значений от теоретических. Вводятся обозначения:

(1.12)

(1.13)

(1.14)

В случае линейной функции получим:

(1.15)

В случае квадратичной функции:

(1.16)

По аналогии легко написать формулу для вычисления ошибки аппроксимации функцией любого вида.

Отметим, что для аппроксимирующей функции, линейной относительно параметров, верно:

Относительная ошибка аппроксимации есть отношение

.

Величина

(1.17)

называется коэффициентом детерминированности и характеризует меру точности аппроксимации табличных данных. Если ² = 1, то ошибка аппроксимации равна 0 и теоретические значения совпадают с эмпирическими.

2. Расчеты, выполненные в Microsoft Excel

Для того, чтобы получить коэффициенты для записи систем уравнений (1.4) и (1.5), произвели расчеты в Microsoft Excel. Результаты вычислений приведены в таблице (Приложение 1).

Таблица составлена следующим образом:

Шаг 1. В ячейки A2: A26 заносим значения .

Шаг 2. В ячейки B2: B26 заносим значения .

Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2².

Шаг 4. В ячейки C3: C26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2.

Шаг 6. В ячейки D3: D26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2⁴.

Шаг 8. В ячейки F3: F26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2²*B2.

Шаг 10. В ячейки G3: G26 эта формула копируется.

Последующие шаги сделаны с помощью автосуммирования .

Шаг 11. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ (A2:A26).

Шаг 12. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ (B2:B26).

Шаг 13. В ячейку C27вводим формулу =СУММ (C2:C26).

Шаг 14. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ (D2:D26).

Шаг 15. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ (E2:E26).

Шаг 16. В ячейку F27вводим формулу =СУММ (F2:F26).

Шаг 17. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ (G2:G26).

Аппроксимируем функцию линейной функцией. Определим коэффициенты и. Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26 и D26, запишем систему:

решив которую, получим и .

Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид:

График этой функции представлен в разделе 3. (рис. 3.1)

Результаты решения системы представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1. Решение системы для линейной аппроксимации В таблице 2.1 в ячейках A32: B33 записана формула {=МОБР (A28:B29)}.

В ячейках E32: E333 записана формула {=МУМНОЖ (A32:B33, C28: C29)}.

Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией. Определим коэффициенты, и. Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26, D26, E26, F26 и G26 запишем систему:

решив которую, получим, и .

Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид:

График квадратичной аппроксимации представлен в разделе 3 (рис 3.2)

Таблица 2.2. Решение системы для квадратичной аппроксимации В таблице 2.2 в ячейках A41: C43 записана формула {=МОБР (A36:C38)}.

В ячейках F41: F43 записана формула {=МУМНОЖ (A41:C43, D36: D38)}.

Вычислим среднее арифметическое и по формулам:

Результаты расчета и представлены в таблице 2.3.

Таблица 2.3. Расчет среднего арифметического

В ячейке B54 записана формула =A26/25.

В ячейке B55 записана формула =B26/25.

Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы.

Таблица составляется следующим образом:

Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$B$ 54)*(B1-$B$ 55).

Шаг 2. В ячейки J3: J26 эта формула копируется.

Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$B$ 54)^2.

Шаг 4. В ячейки K3: K26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку L2вводим формулу =(B2-$B$ 55)^2.

Шаг 6. В ячейки L3: L26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($E$ 32+$E$ 33*A2-B2)^2.

Шаг 8. В ячейки M3: M26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу =($F$ 41+$F$ 42*A2+$F$ 43*A2²-B2)^2.

Шаг 10. В ячейки N3: N26 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования

Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ (J2:J26).

Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ (K2:K26).

Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ (L2:L26).

Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ (M2:M26).

Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ (N2:N26).

Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции (только для линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности. Результаты расчетов представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4. Расчеты коэффициента корреляции и коэффициента детерминированности В таблице 2.4 в ячейке B57 записана формула =J26/(K26*L26)^(½).

В ячейке B58 записана формула =1 — M26/L26.

В ячейке B59 записана формула =1 — N26/L26.

Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.

3. Построение графиков в Excel

Представим графическую интерпретацию полученных уравнений, сравнив их с эмпирическими данными.

3.1 Линейная аппроксимация

Построение графика линейной аппроксимации, имеющей вид:

Рис. 3.1. График линейной аппроксимации

3.2 Квадратичная аппроксимация

Построение графика квадратичной аппроксимации, имеющее вид:

Рис. 3.2. График квадратичной аппроксимации

3.3 Построение прямой линии тренда

Строим график исходной эмпирической функции. Затем для построения линии тренда выполним следующие действия: выделяем на диаграмме ряд полученных точек и правой кнопкой мыши вызываем контекстное меню, выбираем команду — Добавить линию тренда. В диалоговом окне команды выбираем тип «линейная» и параметры: «показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R²)».

Рис. 3.3. График линейной аппроксимации

3.4 Построение квадратичной линии тренда

Выполняется аналогично пункту 3.3, но на вкладке «Тип» выбираем тип «Полиномиальная» и степень аппроксимирующего полинома равной 2.

Рис. 3.4. График квадратичной аппроксимации

Полученные при построении линии тренда значения коэффициента детерминированности для всех зависимостей совпадают с истинными значениями (Табл. 2.4). Это указывает на то, что вычисления верны.

4. Расчёты в Mathcad

В математическом пакете MathCAD реализовано несколько различных возможностей определения оптимальных коэффициентов для выбранного вида уравнения регрессии с использованием специальных функций.

4.1 Решение задачи в Mathcad стандартными средствами

Ввод данных произведен в векторном виде. (Приложение 4)

Вычисление коэффициентов линейной функции a и b:

Используем встроенные функции slope и intercept для определения коэффициентов линейной регрессии (аппроксимация данных прямой линией). Функция slope определяет угловой коэффициент прямой, а функция intercept — точку пересечения графика с вертикальной осью.

Рис. 4.1. График линейной аппроксимации

Вычисление коэффициентов квадратичной функции:

Теперь попытаемся подобрать полиномы второй степени, в качестве аппроксимирующей функции. Для этих целей служат встроенные функции regress и interp. Функция regress является вспомогательной, она подготавливает данные, необходимые для работы функции interp. Извлечение субматрицы из матрицы производится при помощи функции submatrix. Функция length указывает на число элементов в векторе k.

Квадратичная аппроксимирующая зависимость будет иметь вид:

Рис. 4.2. График квадратичной аппроксимации

4.2. Решение задачи в Mathcad с помощью функции linfit

Функция linfit, которая определяет оптимальные значения коэффициентов для выбранной функции.

Для проверки значений коэффициентов, я выбрал квадратичную функцию, так как она точнее определяет зависимость между заданными величинами.

В результате вычислений, представленных ниже коэффициенты, вычисленные в MathCAD, совпали с данными Excel, что говорит о правильности расчетов.

Воспользовавшись ранее введенными данными, провел необходимые вычисления:

Рис. 4.3. Квадратичная аппроксимация

Значит, квадратичная функция имеет вид:

.

Заключение

В ходе данной курсовой работы были рассмотрены различные виды аппроксимаций функции.

В результате проведенных расчетов, можно сделать вывод о том, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает эмпирические данные, т.к. коэффициент детерминированности квадратичной аппроксимации R²=0,999 выше, чем коэффициент детерминированности линейной R²=0,9526, поэтому мы выбираем её в виде аппроксимирующей функции как более подходящую.

Вычисления независимых расчётов сходятся, следовательно, — расчёты верны. В результате получились следующие формулы:

.

Библиографический список

1. Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальностей 150 402 и 150 404: Санкт-Петербургский горный институт им Г. В. Плеханова, 2010 г.

2. Очков В. Ф. Mathcad для студентов и инженеров. — М.: КомпьютерПресс, 1999.