Цифровые синтезаторы музыкальных звуков

Информация, которую несет музыкальный звук, рассказывает о высоте (то есть о том, какая нота звучит) и тембре или типе музыкального инструмента, с помощью которого производится звукоизвлечение (генерация звука). Так же, в структуру музыкального звука исполнитель закладывает свою «импрессию», варьируя силу и резкость начала (атаки) и окончания (затухания), громкость, применяя амплитудное и частотное вибрато. Осциллограмма сигнала музыкального инструмента представлена на рис. 2.

Рис. 2.

Как правило, звук начинается с так называемой атаки, быстрого нарастания амплитуды сигнала. Длительность атаки для разных музыкальных инструментов варьируется от единиц до нескольких десятков или даже сотен миллисекунд. После атаки начинается поддержка, в течение которой уровень сигнала примерно постоянен или плавно меняется в случае применения амплитудного вибрато. Во время поддержки формируется ощущение высоты звука. Далее идет участок затухания, уменьшения величины сигнала. Атака, поддержка и затухание образуют так называемую амплитудную огибающую.

Спектр сигнала, то есть представление сигнала в частотной области, показан на рис. 3.

Рис. 3.

Спектр музыкального сигнала состоит из последовательности (по оси частот) узких «колоколов». Причем частоты, соответствующие максимумам (вершинам) «колоколов», примерно кратны основному тону или «фундаментальной» частоте музыкального звукового сигнала, под которой понимается частота, соответствующая человеческому ощущению высоты звука.

Целью анализа музыкальных звуков является изучение их структуры, определение существенных для восприятия человеческим слухом характеристик и использование полученных знаний для синтеза правдоподобно звучащих виртуальных цифровых музыкальных инструментов.

Традиционно для анализа сигналов в частотной области применяется быстрое преобразование Фурье. Данное преобразование позволяет представить любой дискретизированный сигнал, состоящий из N отсчетов в виде суммы N гармонических колебаний вида:

Yk (t)=Ak*sin (2П*Fk*t+Фk),.

где k — номер гармоники, целое число от 0 до N-1; Ak — амплитуда k-й гармоники (расположенные на графике в виде вертикальных линий, как на рис. 3, в порядке возрастания k, они и образуют амплитудный спектр сигнала); Fk — частота k-й гармоники; Фk — фаза k-й гармоники; t — время, равное в моменты дискретизации (взятия отсчетов) сигнала.

t=i*Td,.

где i — номер дискретного отсчета сигнала от 0 до N-1; Td — период дискретизации сигнала (интервал времени, через который берутся отсчеты сигнала). Td = 1/Fd, где Fd — частота дискретизации (например, 44,1 кГц). Fk — частота k-й гармоники, вычисляемая по формуле:

Fk=k*Fd/N.

Другими словами, Fk = k*F1. Такое же соотношение существует между гармониками (в смысле координат вершин «колоколов») в спектре музыкального сигнала. Таким образом получается, что даже спектр белого шума (стационарный шум, спектральные составляющие которого равномерно распределены по всему диапазону задействованных частот), вычисленный с помощью БПФ, состоит из суммы «гармонических» гармоник. В данном случае над принять во внимание, что БПФ — это всего лишь один из многих инструментов анализа сигналов, математически устроенный определенным образом и обладающий некоторыми парадоксальными свойствами. То, что любой сигнал можно представить (используя БПФ) суммой «гармонических» гармоник с постоянными во времени амплитудами, вовсе не означает, что физически сигнал на самом деле был сгенерирован в виде такой суммы! Например, реальный сигнал может быть физически сгенерирован как сумма нескольких быстро затухающих или возрастающих синусоидальных колебаний с произвольными некратными частотами. Однако его оцифрованный с некоторой частотой дискретизации отрезок произвольной длительности математически с помощью БПФ всегда можно представить в виде суммы «чистых» гармоник с постоянной амплитудой, что значительно усложнит нам понимание истинной природы анализируемого сигнала и его синтез. Например, БПФ короткого отрезка быстро затухающей одиночной синусоиды даст широкий спектр, состоящий из десятков гармонических сигналов. Естественно, такой сигнал гораздо сложнее генерировать с вычислительной точки зрения, чем одиночную синусоиду с быстро уменьшающейся амплитудой. Следовательно, БПФ малопригодно для анализа гармонической структуры музыкального сигнала (с целью использования результатов анализа для синтеза) на стадии атаки и, в некоторых случаях, на стадии затухания.

На стадии поддержки БПФ позволяет провести довольно детальные исследования. Однако точность анализа с помощью простейшей формы БПФ, доступной в программах CoolEdit и WaveLab, ограничена величиной, равной 1/T Гц, где T — длина в секундах подвергавшегося БПФ участка сигнала. Положим, мы исследуем сигнал, состоящий из 4410 отсчетов при частоте дискретизации 44,1 кГц. Длина его по времени составит 0,1 секунды, и, следовательно, точность измерения частот гармоник с использованием БПФ не превысит 10 Гц, а это весьма заметная для музыканта ошибка. Надо заметить, что нота длинной 0,1 секунды — не такая уж большая редкость в реальных музыкальных произведения. Но получается, что с помощью простейших форм БПФ измерить с приемлемой точностью (0,1−0,5 Гц) частоту основного тона музыкального звука в этом случае практически невозможно. Поэтому при анализе спектра сигналов используют метод сверхвысокого разрешения Прони. В этом методе сигнал представляется в виде суммы затухающих или нарастающих синусоид, частоты которых вычисляются с высочайшей точностью в процессе анализа сигнала по формулам Прони и могут не образовывать гармонический ряд. Данный метод гораздо больше, чем БПФ, соответствует физической природе музыкальных сигналов и позволяет проводить анализ звуков на стадии атаки и затухания.

Почему же так важен анализ спектров музыкальных сигналов? Дело в том, что сигналы, имеющие сходные амплитудные спектры (БПФ или Прони), имеют сходное звучание, хотя форма сигналов во временной области при этом может существенно различаться. Простейший пример — два отрезка белого шума. Звучат они одинаково (шипение), а вот их временные отсчеты (или осциллограммы) могут не совпадать ни в одной точке! Зато их усредненные БПФ-спектры будут одинаковыми. Некоторые методы синтеза (в частности, частотной модуляции) музыкальных звуков интенсивно используют это свойство человеческого слуха.