Численные методы решения уравнений

Численные методы решения уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые (точные) методы позволяют найти корни некоторых уравнений по известным формулам. С такими формулами мы знакомы из школьной математики для решения тригонометрических, показательных, логарифмических и простейших алгебраических уравнений.

Подавляющее большинство уравнений не решаются точными методами. В этом случае применяют итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений. Пусть дано уравнение.

f (x)=0 (1.1).

Задача численного решения уравнения складывается из двух этапов. На первом (этапе отделения корней) необходимо определить интервалы [a, b], в которых заданное уравнение содержит один и только один корень. Справедлива теорема: если непрерывная функция f (x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a, b], т. е. f (a)Ч f (b)<0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f (x)=0. Корень будет заведомо единственным, если производная f'(x) cуществует и сохраняет постоянный знак внутри интервала [a, b]. Рассмотрим способы отделения корней: графический и с помощью таблицы знаков данной функции.

Пусть дано уравнение.

x³ — 6x + 2 =0.

Составим таблицу знаков функции.

f (x)= x³ — 6x + 2.

Следовательно, данное уравнение имеет три действительных корня, лежащих в интервалах (-3,-1), (0,1), (1,3).

Графический способ отделения корней уравнения f (x)=0 заключается в определении точек пересечения графика функции y=f (x) с осью x. Однако на практике часто бывает проще, представив данное уравнение равносильным ему h (x)=g (x), построить графики функций y=h (x) и y=g (x). Тогда искомые корни есть абсциссы точек пересечения этих графиков.

На втором этапе необходимо уточнить значение корня, принадлежащего интервалу изоляции [a, b]. Одним из самых простых способов сужения интервала является метод половинного деления, который заключается в следующем: вычисляем значение функции f (x) в точке x=(a+b)/2 и в качестве нового интервала изоляции корня выбираем ту из двух половинок интервала [a, b], на концах которого функция имеет разные знаки. Этот процесс продолжают до тех пор, пока на каком-то шаге |f (x)|.

Рассмотрим ещё один способ уточнения корня — метод итераций или метод последовательных приближений. Пусть дано уравнение (1.1). Заменяя это уравнение равносильным ему х = j (x), (1.2).

строим последовательность приближенных значений корня.

x_n+1 = j (x _n) n=0,1,2,…

где x _o — начальное (нулевое) приближение корня, которое обычно находят графически. Вычисления заканчивают, если на каком-то i-м шаге будет выполняться неравенство |x_i — x_i-1|<1, то итерационный процесс сходится независимо от нулевого приближения x₀О[a, b]. Так,.

x₁ =j (x₀).

|j'(x₀)|=|j'(1,5)|=|(1,5)²-cos (1,5) -1|<1.

при x₀ =1,5. Отметим тот факт, что при использовании метода итераций ошибка округления не накапливается. Общая ошибка округления равна ошибке, возникшей в последней итерации. Причина ясна — каждое новое приближение, включая и предпоследнее, можно рассматривать как начальное.

Одним из эффективных методов уточнения корня является метод Ньютона или метод касательных. Пусть корень уравнения f (x)=0 отделен на отрезке [a, b]. Тогда исходя из начального приближения.

получаем последовательность приближений корня.

n=0,1,2,… (1.3).

Вычисления прекращают, если на каком-то i-м шаге будет выполняться неравенство |x_i — x_i-1|.

Рассмотрим, например, уравнение x² — cos x — 1 = 0 на отрезке [1; 1,5].

Для функции.

f (x)= x² — cos x — 1,.

f '(x)= 2x — sin x,.

f ''(x)= 2 + cos x.

f (1,5)=(1,5)² — cos (1,5) — 1 > 0 и f ''(1,5) = 2 + cos (1,5) > 0, поэтому x₀=1,5.

Последовательность приближений корня определяется формулой (1.3).

Реализация методов итераций и Ньютона на языке QBasic имеет вид:

CLS.

PRINT «Нахождение корней уравнения x² — 1 — cos (x)=0 методом итерации» .

eps = .001.

x0 = 1.5.

1 :

x1 = SQR (1 + COS (x0)).

IF ABS (x0 — x1) < eps THEN PRINT «Корень уравнения равен «; x1: GOTO 2.

x0 = x1.

GOTO 1.

2 :

PRINT.

PRINT «Нахождения корней уравнения методом Ньютона» .

x0 = 1.5.

3 :

x1 = x0 — (x0² — 1 — COS (x0)) / (2*x0 + SIN (x0)).

IF ABS (x0 — x1) < eps THEN PRINT «Корень уравнения равен «; x1: END.

x0 = x1.

GOTO 3.

Результаты работы программы: 1) Метод итераций: х = 1,176 697, 2) Метод Ньютона: х = 1,176 502.

Рассмотрим последовательность действий для получения решения нелинейного уравнения в среде электронной таблицы MS Excel. Решение можно получить несколькими способами. Рассмотрим метод подбора параметра.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность (относительная погрешность) устанавливаются следующей последовательностью команд:

• 1. щёлкнуть мышью по кнопке меню Сервис;
• 2. в раскрывшемся меню щёлкнуть по строке Параметры…;
• 3. щёлкнуть по кнопке ОK.
• 4. в появившемся диалоговом окне Параметры щёлкнуть мышью по вкладке Вычисления, где и установить значения Предельного числа итераций и Относительной погрешности;

При подборе параметра Excel изменяет значение аргумента функции в одной конкретной ячейке до тех пор, пока значения функции, вычисляемые по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не станут соответствовать установленным параметрам вычислений.

Уточнение корня уравнения этим способом сводится к следующим действиям.

1. Заданное уравнение преобразовать к виду f (x)=0. Левая часть уравнения и будет той функцией, нуль которой необходимо найти. Например, задано уравнение.

x² — cos x — 1 = 0.

Тогда функция, нуль которой предстоит найти, имеет вид.

f (x)= x² — cos x — 1.

• 2. В выбранную ячейку рабочего листа (например, А1) ввести текст x=.
• 3. В соседнюю справа ячейку (например, в ячейку В1) ввести начальное приближение к корню из заданного отрезка (можно использовать значение левой или правой границы: x₀ = 1.5).
• 4. В ячейку строкой ниже (например, A2) ввести текст f (x)=
• 5. В соседнюю ячейку (B2) ввести формулу для вычисления значений функции =B1²-COS (B1)-1. Ссылка в формуле вводится щелчком мыши по ячейке с начальным значением аргумента, то есть по ячейке B1.

• 6. Щёлкнуть мышью по ячейке с формулой для вычисления значений функции (B2).
• 7. Щёлкнуть мышью по строке меню Сервис.
• 8. В раскрывшемся меню щёлкнуть по строке Подбор параметра…
• 9. В появившемся диалоговом окне Подбор параметра удалить адрес текущей ячейки в окне Установить в ячейке, если он не соответствует адресу ячейки с выражением для вычисления значений функции, и щёлкнуть мышью по ячейке с формулой (B2), в окно Значение: ввести 0 (нуль). Щелкнуть мышью в окне Изменяя значение ячейки: а затем щёлкнуть мышью по ячейке со значением x (B1).
• 10. Щёлкнуть мышкой по кнопке ОK. Результат получен.