Дифференциальные уравнения в физике

моделирование математический уравнение дифференциальный Примером математического моделирования в науке являются дифференциальные уравнения, составленные для расчета конкретных параметров. Сама история развития дифференциальных уравнений идет в ногу с развитием естествознания. Развитие механики стало возможным благодаря появлению математического анализа в работах Ньютона и Лейбница. Сейчас дифференциальные уравнения — это одно из основных орудий познания в физике и в науках о природе вообще. Например, уравнение, характеризующее рост денег на вкладе под проценты, это линейное дифференциальное уравнение.

Решить дифференциальное уравнение — это значит найти некую функциональную зависимость, зная которую, в свою очередь, можно охарактеризовать протекание любого процесса.

Например, упоминавшаяся визуализация воздушного потока рассчитанная решением уравнения Навье-Стокса:

— однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций, где и — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.

Приведем примеры наиболее известных дифференциальных уравнений физики.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения, где m — масса тела, x — его координата, F (x, t) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы. О значении этого фундаментального закона можно говорить и писать бесконечно.

Дифференциальное уравнение Бесселя — обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: Его решениями являются функции Бесселя.

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

теплопроводность в цилиндрических объектах;

формы колебания тонкой круглой мембраны распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.

скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.

волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка:

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y:

Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, а параметр a задаёт свойства струны:

Колебания струны стали прообразом многих научных идей, как колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:

В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора.

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как.

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера. Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Уравнение Кортевега — де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны:

Классическим примером является закон радиоактивного распада — физический закон, описывающий зависимость интенсивности радиоактивного распада от времени и количества радиоактивных атомов в образце. Открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом, каждый из которых впоследствии был награжден Нобелевской премией. Они обнаружили его экспериментальным путём и опубликовали в 1903 году в работах «Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория» и «Радиоактивное превращение». Существует несколько формулировок закона, в виде дифференциального уравнения:

которое означает, что число распадов? dN, произошедшее за короткий интервал времени dt, пропорционально числу атомов N в образце.

В указанном выше математическом выражении — постоянная распада, которая характеризует вероятность радиоактивного распада за единицу времени и имеющая размерность с?1. Знак минус указывает на убыль числа радиоактивных ядер со временем.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

где — начальное число атомов, то есть число атомов для.

Таким образом, число радиоактивных атомов уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Скорость распада, то есть число распадов в единицу времени, также падает экспоненциально. Дифференцируя выражение для зависимости числа атомов от времени, получаем:

где — скорость распада в начальный момент времени.

Таким образом, зависимость от времени числа нераспавшихся радиоактивных атомов и скорости распада описывается одной и той же постоянной .

Еще одним классическим примером является осциллятор ван дер Поля — осциллятор с нелинейным затуханием, подчиняющийся уравнению.

где.

— координата точки, зависящая от времени ;

— некий коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний. Осциллятор Ван дер Поля был предложен голландским инженером и физиком Бальтазаром ван дер Полем во время его работы в компании Philips. Ван дер Полем были найдены устойчивые колебания, которые были названы релаксационными, известные как"предельные циклы" В сентябре 1927 года Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили, что на определенных частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Это было одним из первых наблюдений детерминированного хаоса. Уравнение Ван дер Поля применяется и в физике, и в биологии.

У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима: при и при. Очевидно, что третьего режима — - не существует, так как трение в системе не может быть отрицательным.

Когда, то есть осциллятор рассчитывается без затухания, то указанные выше уравнения преобразуются к виду.

.

Это уравнение гармонического осциллятора. При система имеет некие предельные циклы. Чем дальше от нуля, тем хаотичнее ведёт себя система. Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без оных рассчитываются по формуле.

где.

— амплитуда внешнего гармонического сигнала,.

— его угловая частота.

Уравнения Эйлера — Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом стационарности действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента. Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты и. Тогда длина пути, соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

откуда получаем, что.

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что, , т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.

Уравнения Гамильтона (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:

Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, — время, — (обобщенные) координаты, и — обобщенные импульсы, определяющие состояние системы (точку фазового пространства). Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики. Функция Гамильтона, по сути, представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) через волновой вектор для каждой точки пространства:

В классическом приближении (при больших частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых () интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие () вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определенного типа. Уравнения Гамильтона являются одними из основных уравнений классической механики. В квантовой механике аналогом приведенного уравнения Гамильтона является уравнение Гейзенберга.

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных[28]) линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторныхфункций ():

Электрический заряд является источником электрической индукции.

Не существует магнитных зарядов. ~ 1].

Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле. ~ 1].

Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле.

Где — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/мі);

— плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/мІ); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как, где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с); в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;

— напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);

— напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);

— электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/мІ);

— магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/мІ = кг*с?2*А?1);

— дифференциальный оператор набла, при этом:

означает ротор вектора,.

означает дивергенцию вектора.

Уравнение Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве (в общем случае, в конфигурационном пространстве) и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году. В квантовой физике вводится комплекснозначная функция, описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности). Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами, в определенный момент времени t она будет иметь вид. В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

где , — постоянная Планка; - масса частицы, — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке в момент времени , — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной). Уравнение обычно записывается так:

где ?(r, t).

— плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и D (?, r) — обобщённый диффузионный коэффициент для плотности? в точке r;? оператор набла. Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно.

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов, то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе не наблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Уравнение теплопроводности — важное уравнение в частных производных, которое описывает распространение тепла в заданной области пространства во времени. Для функции u (x, y, z, t) трёх пространственных переменных (x, y, z) и времени t, уравнение теплопроводности имеет вид.

.

где — функция тепловых источников.