Многочлены Фибоначчи и Люка

Найдём производящую функцию последовательности многочленов Фибоначчи.

Определение. Многочлены Фибоначчизадаются при помощи начальных условий и рекуррентного соотношения.

Вычислим многочлены Фибоначчи.

Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи.

Найдём производящие функции последовательности многочленов Люка.

Многочлены Люка определяются равенствами.

Вычислим многочлены чисел Люка.

Найдём производящие функции последовательности многочленов Люка.

Экспоненциальные производящие функции

Зафиксируем произвольную последовательность Каждой последовательности мы можем сопоставить производящую функцию,.

определённую последовательностью Если в последовательности отсутствуют нулевые элементы, то такое сопоставление взаимно-однозначно. Мы пользовались обычными производящими функциями, отвечающими последовательности В зависимости от преследуемых целей пользу могут принести и другие последовательности. Чаще всего используется последовательность .

Определение. Соответствующие последовательности производящие функции называются экспоненциальными.

Чем отличаются экспоненциальные производящие функции от обычных?

Посмотрим на поведение экспоненциальных производящих функций при выполнении операций над ними.

Произведение двух экспоненциальных функций соответствует следующей формуле:

Коэффициент произведения вычисляется по формуле:

Особое отличие экспоненциальных производящих функций от обычных наблюдается при интегрировании и дифференцировании. Интегрирование или дифференцирование экспоненциальной производящей функции приводит к сдвигу последовательности её коэффициентов без изменения их величин:

Обычная производящая функция выражается через экспоненциальную по формуле:

Теперь можно выписать экспоненциальную производящую функцию для треугольника Паскаля: