Теоретические основы использования проблемно-поисковых задач на уроках математики

Понятие проблемно-поисковой задачи

Перед началом работы с проблемно-поисковыми задачами обратимся к трактовке понятия «задача».

В БСЭ: задача — это «1. Поставленная цель, которую стремятся достигнуть. 2. Поручение, задание. 3. Вопрос, требующий решения на основании определенных знаний и размышления, проблема. 4. Один из методов обучения и проверки знаний и практических навыков учащихся"[11].

В психологии задача чаще всего определяется как «ситуация, требующая опт субъекта некоторого действия» как «объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными ее элементами».

Подробный анализ различных подходов психологов к трактовке понятия задачи дан в работах Г. А. Балла [2,3,4]. Автор так определяет понятие задачи: «Задача, в самом общем виде — это система, обязательными компонентами которой являются: а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии (или исходный предмет задачи); б) модель требуемого состояния предмета задачи (эту модель мы отождествляем с требованием задачи). Как видно из определения, задача по Г. А. Баллу характеризуется тремя основными понятиями (система, предмет, модель). Под предметом автор понимает все то, на что направлена мысль исследователя.

Задача по своей структуре представляет объективно заданное и сформулированное (представленное) в словесной или знаковой форме отношение между определенными «условиями», характеризуемыми как «известное», и тем, что требуется найти, характеризуемым как «искомое».

Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели. Решение задачи означает нахождение этого средства. Задача может быть сложной или простой; в первом случае найти ее решение трудно, во втором — легко. Кстати, трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.

В.И. Крупич рассматривает задачу как сложный объект, систему, которая существует в материальной форме независимо от субъекта и характеризуется внешним и внутренним строением [16,17].

Итак, информационная структура задачи состоит из следующих компонентов, которые взаимосвязаны друг с другом и представляют систему 8={АСЯДВ}, где:

А — условие, т. е. данные и отношения между ними. В — требование задачи, т. е. искомые и отношения между ними. Я — основное отношение в системе отношения между данными и искомыми. Оно существует объективно и создает в задаче информационно-познавательное противоречие, позволяющее учащимся осознать условие и требование задачи. Д — способ, определяющий процесс решения задачи. С — базис решения задачи Ю. М. Колягин [12,13,14,15] понимает под задачей особое состояние системы «человек — заданная ситуация», где вторым компонентом системы является множество взаимосвязанных через некоторые свойства и отношения элементов. Если субъекту, вступившему в контакт с ситуацией, неизвестен хотя бы один элемент, свойство или отношение и у субъекта есть потребность установить неизвестные ему элементы, свойства и отношения этой ситуации, последняя становится для него задачей.

В отличие от информационной структуры задачи В. И. Крупича, есть структура задачи, содержащая четыре компонента: УОРЗ, где:

У — условие задачи; 3 — заключение задачи; Р — преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого; О — теоретическое обоснование решения.

В.И. Крупич разграничивает понятия «сложность» и «трудность» задачи.

«Трудность» — психолого-дидактическая категория, представляющая собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности.

«Сложность» задачи — логическая категория, зависящая от числа элементов, входящих в структуру задачи (внутреннее устройство) и числа связей между элементами. Следовательно, сложность задачи не зависит от мнения субъекта, она объективна.

Сложность задачи входит в трудность как один из ее компонентов, так как она зависит от структуры, которая, в свою очередь, определяет способ решения задачи. А способ решения задачи входит в состав информационной структуры задачи (компонент Д).

Итак, трудность задачи характеризуется: 1) степенью ее проблемности; 2) сложностью; 3) степенью новизны задачи по отношению к усвоенным знаниям и способам действия; 4) степенью обобщенности нового знания или способа действий; 5) интеллектуальными возможностями учащихся (запас знаний, глубина, опыт решения задач и другие).

Различные трактовки понятия проблемно — поисковой задачи Существуют различные трактовки понятия проблемно-поисковой задачи, которая рассматривается в рамках исследовательской задачи, познавательной задачи, творческой задачи, проблемной задачи. Остановимся на каждом из этих подходов более подробно.

1. Исследовательские задачи (задания) Основные признаки исследовательской задачи: 1) отсутствие не только алгоритма, но и различного рода алгоритмического предписания; 2) нестандартность формулировки проблемы; 3) нестандартность нахождения способов решения; 4) возможность составления новых задач, вытекающих из решения данной; 5) многовариантность способов решения, ответов. Для решения исследовательской задачи необходимо выдвижение нескольких мощных идей, нескольких гипотез, поиск решения ее не обходится без догадок, эвристик.

Виды исследовательских задач: 1) задачи на выявление свойств изучаемых математических объектов или отношений между ними; 2) задачи на выделение частных случаев некоторого факта в математике; 3) задачи на обобщение ряда вопросов; 4) классификация математических объектов, отношений между ними, основных фактов данного раздела математики; 5) решение одной и той же задачи разными способами; 6) составление новых задач, вытекающих из решения данных; 7) варьирование задач.

2. Познавательные задачи Основные признаки познавательной задачи: 1) неизвестность способа решения; 2) самостоятельность учащихся при добывании новых знаний или новых способов решения проблем; 3) достаточная сложность для того, чтобы вызвать у учащихся затруднение; 4) посильность для самостоятельного нахождения ответа учащимися; 5) взаимосвязь задачи не только с новыми, но и с прежними знаниями учащихся; 6) неизвестность результата при известных средствах его достижения.

Существует следующая классификация познавательных задач, ориентированных на развитие творческих способностей учащихся: репродуктивные, частично-поисковые и творческие. Репродуктивные задачи — это задачи с ограниченным временем на их выполнение, ориентированные на развитие психических механизмов, лежащих в основе творческих способностей. Частично-поисковые задачи — задачи, требующие простых мыслительных операций с данными (например, задачи на выявление, перечисление, сопоставление, обобщение и др.); сложных мыслительных операций (индукции, дедукции, интерпретации и другие); или задачи, требующие дополнительного сообщения фактов. Творческие задачи — поисковые задачи по практическому приложению знаний в новой ситуации; проблемные задачи и ситуации; задачи на обнаружение на основе собственных наблюдений; на приобретение новых знаний в процессе собственных размышлений.

3. Творческие задачи (задания) Основные признаки творческой задачи: 1) проблема, сформулированная в задаче, может быть явно не определена; 2) условие не содержит указаний о том, какие знания необходимо применить; 3) условие может содержать избыточные или недостаточные данные; 4) задача может иметь два или более способов решения; 5) результат задачи неизвестен, неизвестно средство его достижения.

Творческое задание определяется как задание, в котором осуществляется определенный неалгоритмический поиск решения. К таким заданиям автор относит: задания на доказательство, составление задач, задания с недостаточными или избыточными исходными данными. В процессе выполнения задания происходит открытие новых сторон изучаемого материала, происходит не «разучивание» учебного материала, а его творческое применение. Автор выделяет требования к творческим заданиям:

• · проблема, сформулированная в задании, может быть явно не определена;
• · условия не содержат указаний о том, какие знания необходимо применить;
• · условие может содержать избыточные или недостаточные данные, которые должны быть определены студентом на основе его опыта;
• · задание может иметь два и более способа решения. Выполнение данного задания предполагает самый высокий уровень самостоятельности — творческий.

Выделяется пять основных этапов процесса решения творческих задач, которые различаются не только по целевым установкам, но и по характеру мыслительных действий решателя: 1) этап осознания проблемы; 2) этап эвристического поиска путей решения проблемы; 3) этап ухода от проблемы; 4) этап гипотетического разрешения проблемы; 5) этап реализации и проверки гипотетически найденного решения. При этом автором установлено, что все эти этапы находятся в диалектической взаимосвязи, то есть реализация каждого следующего этапа решения невозможна, пока в предыдущем не сложились для этого необходимые условия.

4. Проблемные задачи Основные признаки проблемной задачи: 1) задача должна ставить ученика в ситуацию, в которой у него должно появиться удивление и ощущение трудности; ученик намерен преодолеть эту трудность; 2) задача содержит в себе элементы, находящиеся в противоречивых отношениях как между собой, так и с наличными знаниями ученика; 3) задача порождает в сознании ученика проблемную ситуацию; 4) задача требует открытия (усвоения) новых знаний; 5) способы решения задачи ученики должны найти самостоятельно.

Одним из инструментов проблемного обучения является проблемная задача. Не любая задача является проблемой. Большинство предлагаемых учебниками задач стандартные, тренировочные. Проблемными называются задачи, имеющие следующие особенности: 1. Задача должна вызывать интерес своей необычностью, неожиданностью, нестандартностью. Информация особенно привлекает учащихся, если она содержит противоречивость, хотя бы кажущуюся. Проблемная задача должна вызывать удивление, создавать эмоциональный фон. 2. Проблемная задача обязательно должны содержать посильное познавательное или техническое затруднение. 3. Проблемная задача предусматривает элементы исследования, поиск различных способов его выполнения, их сравнение; задача должна содержать новые знания, новые методы, новую информацию.

В проблемной ситуации (задаче) рассматриваются основные компоненты: а) начальное состояние (У)-характеристика проблемной системы Р (для математических задач-условие задачи); б) конечное состояние (З)-характеристика стационарности системы Р (для математических задач-заключение задачи); в) решение (Р)-переход от начального состояния к конечному (для математических задачпреобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого); г) базис решения (О) — теоретическая или практическая основа перехода от начального состояния к конечному посредством данного решения (для математических задач — теоретическое обоснование решения).

Таким образом, символическая запись указанных компонентов такова: УОРЗ. Колягин Ю. М. исходит из понимания проблемности задачи в зависимости от того, какие знания, опыт имеются у учащегося на момент предъявления ему задачи. В соответствии с этим, автор рассматривает следующую классификацию задач: стандартные, обучающие, поисковые и проблемные.

Итак, если в задаче неизвестны два любых ее компонента, то она называется поисковой; если три, то — проблемной.

Рассматриваются три типа задач: алгоритмические, полуэвристические, эвристические. Алгоритмические задачи — задачи, решение которых непосредственно связано с воспроизведением или применением нового знания (понятия, определения, формулы, правила, теоремы, свойства, примера и т. п.) с или без привлечения других, ранее усвоенных знаний и умений; основано на известном учащемуся алгоритме (алгоритмах) решения задач, т. е. учащимся известны элементарные операции, порядок их выполнения, условия (объекты), к которым надо применить эти операции и задана область выбора необходимых для решения задачи знаний (понятие, формула, правило и т. п.). Полуэвристические задачи — задачи, которые нельзя сразу решить с помощью последовательного применения известных учащимся алгоритмов. Необходимо вначале осуществить выбор условий (объектов) в заданной области выбора (знаний и умений), затем выбор необходимых алгоритмов и их применение к решению, т. е. в таких задачах учащимся известна область выбора знаний, но неизвестно, какие знания и умения необходимы для решения предложенной им задачи. Эвристические задачи — задачи, для решения которых учащимся необходимо найти объект (условия) в неизвестной области знаний, затем выбрать соответствующие алгоритмы и применить их последовательно, либо найти какой-нибудь новый способ решения задачи, т. е. в таких задачах учащимся неизвестны ни область выбора знаний, ни сами объекты, ни то, какие алгоритмы можно применить к решению поставленной перед ним задачи.

Наиболее часто под проблемно-поисковой задачей понимают задачу, в информационной структуре которой неизвестны два или три компонента.

Субъективность таких задач определяется тем, что на момент предъявления ее ученику у последнего отсутствуют не только алгоритмы, но и различного рода алгоритмические предписания для ее решения.

Алгоритм — точное, однозначно понимаемое предписание о выполнении в указанной последовательности операций (действий), приводящих к решению любой из задач, принадлежащих к некоторому классу (или типу). Алгоритмическое предписание — предписание, состоящее из указаний (команд) о выполнении действий или операций над определенными объектами и обычно фиксированное (в виде различных схем, слов, знаков) на тех или иных материальных носителях.

Понятие проблемно-поисковой задачи относительное, так как оно зависит от того, какими алгоритмами или алгоритмическими предписаниями владеет ученик на момент ее предъявления.