Квазирешения. 
Понятие приближенного решения некорректно поставленных задач

Пусть оператор А в уравнении (2; 0,1) — вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым изменениям правой части и приближенного решения уравнения (2; 0,1) по формуле.

z=A^-1u (2; 2,1).

возможно в тех случаях, как отмечалось в 2.1., когда решение ищется на компакте ММF и правая часть уравнения принадлежит множеству N = AM.

Обычно не существует эффективных критериев, позволяющих установить принадлежность элемента и множеству N. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части и_T нам известно ее приближенное значение u¹, которое может не принадлежать множеству N=AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения (2; 0,1) по формуле (2; 2,1), так как символ А^-1u может не иметь смысла.

Стремление устранить затруднения, связанные с отсутствием решения уравнения (2; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова к понятию квазирешения уравнения (2; 0,1) — обобщению понятия решения этого уравнения.

Элемент z¹ОМ, минимизирующий при данном и функционал r_U(Az¹,и) на множестве М, называется квазирешением уравнения (2; 0,1) на М,

Если М — компакт, то квазирешение, очевидно, существует для любого иОU и если, кроме того, иОAM, то квазирешение z¹ совпадает с обычным (точным) решением уравнения (2; 0,1). Квазирешение может быть и не одно. В этом случае под квазирешенпем будем разуметь любой элемент из множества квазирешений D.

Можно указать достаточные условия, при которых квазирешение единственно и непрерывно зависит от правой части и.

Напомним определение. Пусть элемент у и множество Q принадлежат пространству U. Элемент q множества Q называется проекцией элемента у на множество Q, q=Ру, если выполняется равенство.

Теорема 1. Если уравнение Аz=u может иметь на компакте М не более одного решения и проекция каждого элемента uОU на множество N = AM единственна, то квазирешение уравнения (2; 0,1) единственно и непрерывно зависит от правой части u.

Доказательство. Пусть z¹ — квазирешение и и¹=Аz¹. Очевидно, и¹ есть проекция элемента u на множество N = AM. По условию теоремы она определяется однозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности отображения множества М на множество N, следует единственность квазирешения z¹.

Очевидно, что z¹ = А^-1u=А^-1Ри. Согласно лемме о непрерывности обратного отображения компакта (см. предыдущий параграф) оператор А^-1 непрерывен на N. Оператор проектирования Р непрерывен на U. Поэтому А^-1P — непрерывный на U оператор и, следовательно, квазирешение z¹ непрерывно зависит от правой части и.

Таким образом, при переходе к квазирешению восстанавливаются все условия корректности, т. е. задача нахождения квазирешения уравнения (2; 0,1) на компакте М является корректно поставленной.

Если условие единственности решения уравнения (2; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некоторое множество D элементов компакта М. В этом случае без упомянутых в теореме 1 ограничений на множество N имеет место непрерывная зависимость множества квазирешений D от и в смысле непрерывности многозначных отображений. Для случая, когда уравнение (2; 0,1) линейно, легко получить более общие результаты, содержащиеся в следующей теореме .

Теорема 2. Пусть уравнение (2; 0,1) линейно, однородное уравнение Az=0 имеет только нулевое решение, множество М выпукло, а всякая сфера в пространстве U строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения (2; 0,1) на компакте М единственно и непрерывно зависит от правой части и.

Доказательство. Пусть z¹ — квазирешение и u¹=Az¹. Так как множество М выпукло, то в силу линейности оператора А множество N=AM также выпукло. Очевидно, что и¹ есть проекция элемента и на множество N. В силу того, что сфера в пространстве U по условию теоремы строго выпукла, проекция и определяется однозначно. Далее доказательство завершается, как в теореме 1.

Пусть F и U — гильбертовы пространства, МОS_R — шар (|| z ||<=R) в пространстве F и А — вполне непрерывный линейный оператор.

В этом случае квазирешение уравнения (2; 0,1) можно представить в виде ряда по собственным элементам (функциям, векторам) j_n оператора А*А, где А* — оператор, сопряженный оператору А.

Известно, что А*А — самосопряженный положительный вполне непрерывный оператор из F в F. Пусть l₁>=l₂>=…>=l_n>=… — полная система его собственных значений, a j₁,—j₂,…,—j_n,…—отвечающая им полная ортонормированная система его собственных элементов (функций, векторов). Элемент А*и можно представить в виде ряда.

(2;2,2).

В этих условиях справедлива Теорема 3. Квазирешение уравнения (2, 0,1) на множестве SR выражается формулами:

(2;2,3).

Если.

(2;2,4).

и

если.

(2;2,5).

Здесь b — корень уравнения.

(2;2,6).

Доказательство. Квазирсшение минимизирует функционал.

—r_U² (Az, u) == (Az — u, Az — u) (2;2,7)

где (v, w) — скалярное произведение элементов v и w из U), уравнение Эйлера для которого имеет вид.

A*Az=A*u. (2;2,8).

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по системе {j_n}:

(2;2,9).

Подставляя этот ряд в уравнение (2; 2,8) и используя разложение (2;2,2), находим с_n=b_n/l_n. Следовательно, неравенство (2; 2,4) означает, что ||z||.

Если же выполняется неравенство (2; 2,5), то это означает, что ||z||>=R и надо решать задачу на условные экстремум функционала (2; 2,7) при условии, что || z ||² = R². Методом неопределенных множителей Лагранжа эта задача сводится к нахождению безусловного экстремума функционала.

(Аz-u, Аz-u) + b (z, z),

а последняя — к решению отвечающего ему уравнения Эйлера A*Az+bz=А*и. Подставляя сюда z в виде ряда (2; 2,9) и используя разложение (2; 2,2), находим.

Параметр b определяем из условия || z ||² = R², которое эквивалентно (2; 2,6).