Переходные процессы в линейной электрической цепи

четырехполюсник переходный операторный сопротивление Теория электрических цепей является базовым курсом, дающим основные понятия и аналитический аппарат, необходимый для количественного описания электромагнитных процессов в технических системах, предназначенных для производства, передачи и распределения электрической энергии, распространения, преобразования и обработки информации, — системах связи, автоматического управления, средствах информационной и вычислительной техники, в электромеханических и электротехнических устройствах.

Курс теории цепей базируется на основных физических понятиях об электрических и магнитных явлениях. В основе курса лежат также знания, полученные в различных областях математики — линейной алгебре, теории дифференциальных уравнений, преобразований Фурье и Лапласа, численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений.

В свою очередь, на базе теории электрических цепей строятся многие последующие дисциплины, связанные с анализом конкретных классов систем, в которых методы и приёмы теории цепей развиваются и получают проблемную ориентацию.

Прикладная направленность курса требует на ряду с изучением теории решения задач, предлагаемых в виде самостоятельных расчётных заданий и курсовых работ.

При выполнении курсовой работы перед студентом ставятся следующие задачи и цели:

— Закрепление и более глубокое усвоение определенного объёма теоретических знаний, включающего следующие вопросы:

— комплексные частотные характеристики электрических цепей;

— расчёт переходной и импульсной характеристики цепи;

— расчёт характеристических и первичных параметров четырехполюсников

— Приобретение навыков, освоение методов расчёта и анализа электрических цепей;

— Развитие самостоятельности и творческой инициативы при решении конкретных задач.

1. Расчёт комплексного коэффициента передачи по напряжению для четырёхполюсника

Рассчитываемая цепь Комплексная схема замещения Входными зажимами буду считать зажимы 1 — 1', а выходными зажимами 2 — 2'.

Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению:

где — комплексное входное напряжение четырехполюсника;

— комплексное выходное напряжение;

— зададимся значением для входного напряжения.

Комплексное выходное напряжение найдем из выражения:

где — комплексный второй ток;

— комплексное сопротивление резистора.

Определяем комплексные токи для данного четырехполюсника:

где — комплексное входное напряжение;

— комплексное входное сопротивление всей цепи четырехполюсника.

Токи в параллельных ветвях определяются следующим выражением:

где — комплексный первый ток;

— комплексное сопротивление резистора ;

— комплексное сопротивление резистора ;

— комплексное сопротивление катушки L.

— комплексное сопротивление резистора ;

Определяем комплексное входное сопротивление цепи:

После элементарных преобразований комплексное входное сопротивление цепи принимает вид:

где, и — индивидуальные численные значения выбранные для своего варианта и соответственно равные 100 Ом, 120 Ом, 140 Ом, 0,3 мкФ, 2мГн, а j — комплексная постоянная численно равная .

Полученное выражение для комплексного входного сопротивления четырехполюсника подставляем в выражение для первого тока, тогда получим:

Полученное выражение для первого тока подставляем в выражение для второго тока и получаем следующее выражение:

Определяем комплексное выходное напряжение заданной цепи, подставляя выражение второго тока в выражение:

Подставляем полученную дробь (1.10) в выражение для получения комплексного коэффициента передачи по напряжению (1.1):

После сокращения выражение для комплексного коэффициента передачи принимает вид:

Где А=

Комплексный коэффициент передачи по напряжению в показательной форме имеет вид:

где — модуль коэффициента передачи по напряжению, соответственно являющийся функцией АЧХ;

— аргумент коэффициента передачи по напряжению, соответственно являющийся функцией ФЧХ.

В результате аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ представляют собой соответственно:

Построение АЧХ Построение ФЧХ

2. Расчет переходной характеристики цепи классическим методом

Рассчитываемая цепь до коммутации Параметры заданного четырёхполюсника:

Производим анализ цепи до коммутации. В результате этого анализа определяю токи во всех ветвях электрической цепи и напряжение на ёмкости в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t=0_).

По законам коммутации:

Независимые начальные условия равны:

Составляем систему дифференциальных уравнений на основании законов Кирхгофа, описывающую процесс в цепи после коммутации (t?0):

Рассчитываемая цепь после коммутации Направление обхода выбираем произвольно. U1=1B

Ток представим в виде суммы установившегося и свободного режима цепи:

Определим ток в установившемся режиме цепи после коммутации. Так как на входе цепи включена ёмкость, то в установившемся режиме работы цепи все токи будут равны нулю.

Определим свободную составляющую тока для этого необходимо, получить характеристическое уравнение цепи после коммутации. Наиболее простой способ составления характеристического уравнения — метод входного сопротивления.

Запишем характеристическое уравнение заданного четырехполюсника:

Приравняем к нулю числитель выражения:

Подставив числовые значения параметров цепи в характеристическое уравнение, вычислим его корни:

Дискриминант получился, находим корни:

Корни характеристического уравнения комплексно — сопряженные, поэтому характер переходного процесса — колебательный, следовательно свободная составляющая тока будет иметь вид:

где , — постоянные интегрирования.

Для расчета постоянных интегрирования определим зависимые начальные условия. Запишем исходную систему уравнений для т=0:

Из независимых начальных условий ,

Из второго уравнения системы уравнений определяем :

Из третьего уравнения системы уравнений определяем :

Подставляем значений второго тока и третьего тока в первое уравнение системы уравнений и получаем значение первого тока в нулевой момент времени :

Продифференцируем первое и второе уравнение системы уравнений (2.75) и запишем их для :

Из второго уравнения системы уравнений находим, подставляя известные значения конденсатора, значения сопротивлений и значения первого тока в нулевой момент времени (2.78):

Определим постоянные интегрирования и для определения свободной составляющей третьего тока. Так как установившаяся составляющая тока третьего равна нулю, то ток в цепи будет определяться только свободной составляющей:

Продифференцируем уравнение для тока (2.81) и запишем их для :

Запишем уравнение (2.81) для :

Из двух уравнений составим одну систему уравнений:

Решаем систему уравнений (2.84), подставляя известные численные значения (2.76), (2.80), (2.73), (2.73) и находим постоянные интегрирования и :

Подставляем полученные постоянные интегрирования в выражения для искомого тока третьего:

Таким образом, переходная характеристика заданного четырехполюсника имеет вид:

3. Расчет переходной характеристики операторным методом

Рассчитываемая цепь в операторном виде На вход рассчитываемой цепи подается напряжение, в операторном виде это напряжение будет равно .

Запишем операторное сопротивление цепи:

Запишем выражение для первого тока в операторном виде:

Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:

Запишем выражение выходного напряжения в операторном виде:

Обозначим числитель и знаменатель дроби соответственно и :

Приравниваем знаменатель выражения к нулю — и находим корни заданного квадратного уравнения:

Найдем производную от знаменателя дроби (2.92) то есть :

применяя теорему разложения, определим оригинал по формуле:

Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) (2.92) первый корень характеристического уравнения Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) второй корень характеристического уравнения:

В выражение подставим, первый корень характеристического уравнения и получим:

В выражение подставим второй корень характеристического уравнения (2.95) и получим:

Подставляем найденные значения в выражение:

Построим график переходной характеристики четырёхполюсника:

Переходная характеристика четырёхполюсника

4. Расчёт импульсной характеристики четырёхполюсника

Операторная схема заданного четырехполюсника На вход рассчитываемой цепи подается напряжение, в операторном виде это напряжение, для расчета импульсной характеристики, будет равно .

Запишем операторное сопротивление цепи:

Запишем выражение для первого тока в операторном виде:

Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:

Запишем выражение для выходного напряжения в операторном виде:

Выполним обратное преобразование Лапласа с помощью теоремы разложения. Обозначим числитель и знаменатель дроби соответственно и :

Приравниваем знаменатель выражения к нулю — и находим корни заданного квадратного уравнения:

Корни заданного уравнения будут совпадать с корнями при расчете переходной характеристики, так как заданные уравнения идентичны:

Найдем производную от знаменателя дроби то есть :

В соответствии с теоремой разложения имеет вид:

Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) первый корень характеристического уравнения:

Найдём, подставив вместо в выражении (числитель) второй корень характеристического уравнения:

В выражение подставим первый корень характеристического уравнения и получим:

В выражение подставим второй корень характеристического уравнения и получим:

Подставляем найденные выражения в аналитическую форму импульсной характеристики;

5. Расчет — параметров четырехполюсника

При записи уравнений в форме положительное направление токов выбирается согласно рисунку 4.1. Удобство выбора именно такого положительного направления тока связано в данном случае с тем, что форма применяется обычно при передаче электрической энергии от входных выводов к выходным, причем четырехполюсник, включенный между источником и приёмником, может состоять из нескольких четырехполюсников, соединенных каскадно; вход каждого последующего четырехполюсника совпадает с выходом предыдущего четырехполюсника.

Коэффициенты в общем случае комплексные и зависят от частоты: и — безразмерные, — имеет размерность сопротивлений, имеет размерность проводимости. Эти коэффициенты могут быть определены следующим образом (рисунок 4.1):

— отношение напряжений при разомкнутых выходных зажимах;

— отношение токов при закороченных выходных зажимах;

— величина, обратная передаточной проводимости при закороченных выходных зажимах;

— величина, обратная передаточному сопротивлению при разомкнутых выходных зажимах;

В нашем случае расчет — параметров будет произведен через параметры холостого хода и короткого замыкания.

Коэффициенты и представляют собой входные проводимости четырехполюсника рисунок 6.1, измеренные слева и справа при закороченных противоположных выводах; соответственно и представляют собой входные сопротивления четырехполюсника при разомкнутых выводах.

Введя индексы «к» и «х» для обозначения режимов короткого замыкания (выводы замкнуты) и холостого хода (выводы разомкнуты), получим параметры холостого хода и короткого замыкания:

Параметры холостого хода и короткого замыкания могут быть выражены через любую систему коэффициентов, например через коэффициенты:

В свою очередь любая система коэффициентов обратимого четырехполюсника может быть выражена через параметры холостого хода и короткого замыкания. Например, для коэффициентов получаем:

Основываясь на наше задание начнем расчет — параметров с того, что рассчитаем сопротивления холостого хода и короткого замыкания для заданной цепи.

Сопротивления холостого хода цепи найдем, используя выражения (5.1) и (5.3):

где — входное сопротивление со стороны зажимов 1 -1', в режиме холостого хода на зажимах 2 — 2', Ом. То есть зажимы 2 -2' не подключены.

где — сопротивление со стороны зажимов 2 — 2', в режиме холостого хода на зажимах 1 — 1', Ом. То есть зажимы 1 — 1' разомкнуты и ток не будет проходить через конденсатор, а будет протекать в направлении резистора, поэтому будет определяться выражением (4.3).

где — входное сопротивление со стороны зажимов 1 — 1', при закороченных зажимах 2 — 2', Ом. Так как зажимы 2 — 2' соединены между собой, соответственно ток третий, протекающий через резистор не будет проходить через R3, а пойдет по пути наименьшего сопротивления, поэтому будет определяться выражением (5.5);

где — входное сопротивление со стороны зажимов 2 — 2', в режиме короткого замыкания на зажимах 1 — 1', Ом. То есть зажимы 1 — 1' соединены между собой и токи, протекающие в заданной схеме, будут проходить через все элементы цепи. Поэтому будет определяться выражением (4.7).

Используя значения определяю — параметры Проверим условие правильности подсчёта А-параметров:

6. Расчет характеристической (собственной) постоянной передачи четырехполюсника

Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Характеристические сопротивления будут выглядеть следующим образом:

Положим, что сопротивления и в схемах рисунок 6.1 а и б подобраны таким образом, что и. Иначе говоря, будем считать, что существуют два сопротивления: и, которые удовлетворяют следующему условию: входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением, равно (рисунок 6.1 в); входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением, равно (рисунок 6.1, г).

Такие два сопротивления называются характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника.

Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Предположим, что Тогда получим:

Совместное решение этих уравнений относительно и дает:

Введем для рассматриваемого обратимого четырехполюсника новый параметр, удовлетворяющий условиям:

Эти условия всегда осуществимы, так как параметр может быть комплексным. Кроме того, эти условия взаимно дополняют друг друга, так как имеющая место связь между коэффициентами соответствует тригонометрической формуле:

Параметр в общем случае комплексный; называется характеристической постоянной передачи четырехполюсника. Это — третий характеристический параметр обратимого четырехполюсника. Его действительная часть — А называется постоянной ослабления четырехполюсника, а мнимая часть В-постоянной фазы.

Децибел — единица затухания, в 10 раз меньшая бела. Затухание 1 дБ соответствует уменьшению полной мощности в 1,26 раза или уменьшению напряжения и тока в 1,12 раза. Затуханию 1 Нп соответствует уменьшение амплитуды и действующего значения напряжения или тока в 2,718 раза.

Используя — параметры четырехполюсника, получаем характеристические сопротивления четырехполюсника (5.1), (5.2) и (5.3) (рисунок 4.2).

где — коэффициент передачи по напряжению;

— передаточное сопротивление, Ом;

— передаточная проводимость, См;

— отношение токов при режиме короткого замыкания одних из зажимов.

где — характеристическая (собственная) постоянная передачи четырехполюсника;

— характеристическая (собственная) постоянная ослабления четырехполюсника, Нп или дБ;

— характеристическая (собственная) постоянная фазы четырехполюсника, рад или град.

Заключение

В ходе выполнения данной курсовой работы были исследованы: комплексный коэффициент передачи по напряжению, амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные (ФЧХ) характеристики цепи, переходная характеристика и импульсная характеристика заданного четырехполюсника, сопротивления холостого хода, и короткого замыкания, , А — параметры четырехполюсника, характеристические сопротивления четырехполюсника и, и характеристическая (собственная) постоянная передачи четырехполюсника.

1. Попов В. П. Основы теории цепей: учебник / Попов В. П. — 6-е изд., испр. — М.: Высшая школа, 2007 — 575 с.

2. Атабеков Г. И. Основы теории цепей: учебник / Атабеков Г. И. — 2-е изд., испр. — М.: Лань, 2006 — 432 с.

3. Атабеков Г. И. Основы теории цепей: линейные электроцепи / Атабеков Г. И. — 6-е изд. — СПб: Лань, 2008;592 с.

4. Новгородцев А. Б. Теоретические основы электротехники. 30 лекций по теории электрических цепей. СПб: Питер, 2006

5. Новиков Ю. Н. Н73 Электротехника и электроника. Теория цепей и сигналов, методы анализа: Учебное пособие. СП6: Питер, 2005.