Расчет основных параметров системы

Математическая модель электромеханической системы

Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя постоянного тока с независимым возбуждением и исполнительного механизма ИМ. Приведем математическую модель этой системы. При составлении системы будем считать, что двигатель работает в ненасыщенном режиме.

Рассмотрим переходные процессы при пуске двигателя независимого возбуждения, подразумевая под пуском подключение якоря к сети постоянного тока U. Так как обмотка возбуждения такого двигателя постоянно включена под напряжение, то угловая скорость и направление вращения вала зависят лишь от значения и полярности напряжения, подаваемого к якорю.

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение двигателя независимого возбуждения при переходном процессе запишется в следующем виде:

(1.1.1).

где L — индукция якоря; - ток якоря.

Напряжение U уравновешивается ЭДС самоиндукции якоря, падением напряжения на активном сопротивлении R_Я и противо-ЭДС, возникающей в якоре при вращении.

В исполнительных двигателях с независимым возбуждением щетки расположены, как правило, на геометрической нейтрали, поэтому продольная реакция отсутствует. Если к тому же пренебречь влиянием поперечной реакции якоря, то можно считать, что противо-ЭДС якоря.

(1.1.2).

где k_ЭМ =kФ — единый электромагнитный коэффициент. а электромагнитный момент двигателя.

(1.1.3).

Дифференциальное уравнение движения вала двигателя имеет вид.

(1.1.4).

Предположим, что нагрузка имеет инерционный характер и моментом сопротивления, так же как и моментом трения, можно пренебречь. При разгоне двигателя на холостом ходу () выражение (1.1.4) с учетом (1.1.3) примет вид.

(1.1.5).

Подставив в (1.1.1) значения тока из (1.1.5) и ЭДС из (1.1.2), введя обозначения: — электромеханическая постоянная времени двигателя и — электромагнитная постоянная времени якоря, получим дифференциальное уравнение для угловой скорости вала двигателя:

(1.1.6).

Частное решение этого уравнения представляет собой установившееся значение угловой скорости (при равных нулю производных скорости от времени) _уст =U/k_ЭМ. Как правило, в двигателях соблюдается условие 4Тя < Т_м, поэтому корни характеристического квадратного уравнения — действительные и разные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид:

(1.1.7).

где.

(1.1.8).

корни характеристического уравнения ТмT_Яр² + T_мр +1=0.

Решение уравнения (1.1.6) равно, как известно, сумме частного и общего решений:

Значения постоянных A₁ и А₂ найдем из начальных условий: = _нач в момент t=0; d/dt=0 в момент t=0.

Первое условие означает, что в момент включения вал двигателя неподвижен, второе объясняется тем, что в первый момент вследствие индуктивности якоря ток якоря равен нулю, а следовательно, равен нулю вращающий момент (1.1.3) и ускорение (1.1.5) двигателя.

Подставив начальные условия в (1.1.8) и в производную от (1.1.8) по времени d/dt =₁A₁e^1t+₂A₂e^2t, получим систему уравнений:

₁A₁+₂A₂=0.

решая которую, найдем Подставив значения A₁ и А₂ в (1.1.8), определим окончательное выражение для угловой скорости вала двигателя независимого возбуждения при включении якоря под напряжение:

Найдем дифференциальное уравнение для тока якоря в процессе разгона вала двигателя. Продифференцировав выражение (1.1.6) и подставив в него из (1.1.5) значения первой, второй и третьей производных от угловой скорости по времени получим дифференциальное уравнение, определяющее изменение тока, во время переходных процессов. При пуске на i-й ступени оно имеет вид:

(1.1.9).

Решение этого уравнения имеет вид:

(1.1.10).

где — корни характеристического уравнения, одинакового для (1.1.6) и (1.1.9). Постоянные B₁ и B₂ находим из начальных условий: в момент t=0; U=L_Я(di_Я/dt) в момент t=0.

Первое условие уже объяснялось, второе означает, что в момент включения, когда ток и угловая скорость якоря равны нулю, в левой части равенства (1.1.1) второе и третье слагаемые также равны нулю, и напряжение U уравновешивается только ЭДС самоиндукции якоря.

Подстановка начальных условий в уравнение (1.1.10) и его производную приводит к системе.

B₁+B₂=0.

₁B₁+₂B₂=U/I_Я

решая которую, находим.

Подставив значения B₁ и В₂ в (1.1.10), определим окончательное выражение для тока якоря при включении его под напряжение:

Отметим, что — отрицательны, поэтому при t, что соответствует идеальному холостому ходу двигателя при M_C=0, когда .

Если, то переходной процесс будет колебательным, а функции и i_Я определяются так:

Здесь корни интегрирования получаются комплексно сопряженными и равны:

.