Уравнение Бернулли. 
Дифференциальные уравнения I и II порядка

Уравнением Бернулли называется уравнение вида.

(1).

где n — любое число, не обязательно целое.

При уравнение Бернулли превращается в линейное неоднородное уравнение. При оно превращается в линейное однородное уравнение.

Таким образом, уравнение Бернулли служит некоторым обобщением линейных уравнений, в общем случае оно является нелинейным дифференциальным уравнением (при и).

Однако во всех случаях его решение тесно связано с решением линейного уравнения.

Теорема. Пусть и. Тогда уравнение Бернулли (1) подстановкою сводится к решению линейного уравнения (для функции z).

Замечание. Уравнение Бернулли (1) может быть решено другим способом. Введем вместо неизвестной функции две неизвестные функции и, такие, что.

.(7).

Подставляя это в уравнение (1), получим:

(8).

Из этого одного уравнения определить две функции u и v нельзя.

Для того, чтобы определить конкретные функции и, необходимо задать еще одну зависимость между и, причем вообще говоря, произвольную.

Но проще всего положить.

.(9).

Тогда уравнение (8) примет вид: или, считая (или, что-то же,).

.(10).

Так как есть решение однородного линейного уравнения (9), то его можно считать его известным:

.(11).

Здесь, при интегрировании уравнения (8), мы положили произвольную постоянную. Это можно делать, так как за функцию мы можем взять любое решение уравнения (9).

Итак, известно. Отсюда следует, что уравнение (10) для определения будет с разделяющимися переменными (считаем.

).(12)

Отсюда получаем.

: или (13).

Формулы (11) и (13) позволяют построить решение уравнения Бернулли.

.

Такой способ решения годится и для и. В этом случае только формула (13) будет иметь другой вид, именно:, где С — произвольная постоянная.

Пример. или .

Это уравнение Бернулли. Здесь .

Преобразуем уравнение, разделив его на :.

Положим, тогда .

Следовательно, или .

Отсюда .

и — особое решение.