Оптимизация выпуска и инвестиционные решения в условиях риска и неопределенности

Выбор инвестиционного портфеля в условиях неопределенности и риска

Большинство людей не склонны к риску вообще. Но в то же время они вкладывают сбережения в акции, недвижимость, землю и другие активы, связанные с определенным риском. Как же они осуществляют выбор варианта инвестирования? Выбор инвестиционного портфеля является основной проблемой теории финансов. Предлагаются различные методы оценки инвестиционного риска, пути и методы его снижения. Однако эти подходы зачастую не имеют под собой теоретического фундамента. В отечественной экономической теории не получила развития концепция выбора в условиях неопределенности и риска, в т. ч. выбора инвестиционного портфеля.

Предположим, лицо, принимающее решение (фирма или домохозяйство), имеет первоначальное благосостояние w₀. Существует два варианта использования инвестиций. Первый вариант представляет вложения всего или части начального благосостояния в безрисковые активы; сумму, инвестируемую в эти активы, обозначим через m. Капиталовложения m по истечении определенного периода приносят конкретный доход i на каждую денежную единицу, общий доход от инвестирования составит m (1 +i). Другой вариант — инвестирование суммы а в рисковые активы, уровень доходности по которым представлен случайной переменной х с функцией плотности f (х), независимой от а. Функция плотности отражает собранную индивидом объективную информацию о рисковых активах и субъективную об уровне оптимизма или пессимизма, характерном для этих активов. Следовательно, у различных экономических агентов функция f (х) неодинакова, так как ее форма зависит от природы получаемой ими информации и личной оценки вероятности и может изменяться при поступлении новой информации или переоценке старой.

Проблему выбора, с которой сталкивается экономический агент, можно представить в виде схемы 1.1:

Таким образом, конечное благосостояние составит.

w_f = m (1 + i) + а (1 + х).

Так как первоначальное благосостояние распределяется только между двумя активами, то m = w0 — а. Следовательно:

W_f = w_o(1 + i) + a (x — i).

Первое слагаемое w_o(1+i) представляет конечный доход, который получит экономический агент, если он полностью инвестирует первоначальный капитал в безрисковые активы (а = 0). Второе слагаемое представляет дополнительный доход (положительный или отрицательный) в результате вложения в рисковые активы. Выражение (х — i) измеряет экономическую прибыль от вложений в рисковые активы, где х — совокупный доход от рисковых активов, a i — альтернативные издержки.

Согласно критерию математического ожидания оптимизация выбора может быть представлена уравнением.

Max_aE (w_f) = w_o(1 + i) + a (- i),.

где = Е (х) — математическое ожидание дохода х, Производная целевой функции относительно переменной решения E (w_f)/a = - 1 показывает дополнительную прибыль, получаемую в результате вложения дополнительной денежной единицы в рисковые активы. Если — i > 0, то оптимальный размер инвестиций в рисковые активы а*, так как увеличение, а повышает благосостояниe индивида. Если математическое ожидание дохода х превышает i даже на небольшое значение, экономический агент занимает крайне рисковую позицию. Он берет в долг с тем, чтобы инвестировать в рисковые активы сумму, значительно превышающую его начальное благосостояние, и полностью игнорирует риск банкротства в случае неблагоприятного исхода (х < i). Таким образом, руководствуясь логикой математического ожидания, лицо, принимающее решение, акцентирует внимание лишь на математическом ожидании, игнорируя при этом все другие аспекты выбора, особенно риск. Если — i i и лишь незначительно меньше i, индивид понесет огромные потери, значительно превышающие первоначальный капитал, и в результате окажется банкротом. При — 1 = 0 индивид полностью безразличен между, а и m, следовательно, в равной степени допустимо любое решение. Сказанное доказывает несостоятельность критерия математического ожидания при выборе варианта инвестирования.

Рассмотрим проблему оптимизации инвестиционного выбора с точки зрения критерия среднего отклонения. Чтобы избежать сложных математических выкладок, рассмотрим простой вариант критерия среднего отклонения.

V () = E () — k²(),.

где норма замещения между риском и доходом k предполагается положительной, т. е. индивид нерасположен к риску. Инвестор оптимизирует свой портфель, если.

Max_a V () = w_o(1 + i) + а (- i) — ka² ,.

а условия оптимизации могут быть записаны в следующем виде:

V/а = (- i) — 2ka = 0, ²V/²а = -2k²_х < 0. (1.3).

Когда k строго положительна, уравнение (1.3) дает единственное и конечное решение: а* = (- i)/2k, которое имеет некоторые свойства. Если (- i) возрастает, то, а увеличивается. Прирост (- i) при постоянном отклонении х означает, что рисковые активы становятся более привлекательными для инвестора, чем безрисковые. Если степень неприятия риска k и (или) уровень риска ² увеличиваются, готовность вкладывать в рисковые активы снижается. Следовательно, применение критерия среднего отклонения делает прогнозы более точными по сравнению с критерием математического ожидания.

Если инвестор руководствуется критерием ожидаемой полезности, то проблема оптимизации принимает следующий вид:

Max_aE[U (] =Max_aE[U (w₀(1 + i) + а (- i))].

а условия оптимизации.

E (U) / а = E[] = 0.

²E (U) / а² = E[] < 0.

В условии первого порядка необходимо обратить внимание на знак, а в точке оптимума. Рассмотрим значение Е (U)/а в точке, а = 0.

[Е (U)/а]_а=0 = E[U'(w_o (1+i))(- i)] = U'(w_o(1 + i))E (- i). (1.4).

Из уравнения (1.4) следует, что знак Е (U)/а при, а = 0 зависит только от знака (- i). Если > i, то он положительный, тогда как при 0 тогда и только тогда, когда > i, а < 0 тогда и только тогда, когда < i. Полученный вывод имеет следующую экономическую интерпретацию: он показывает, что не расположенные к риску экономические агенты могут являться рациональными и в то же время брать на себя риск. Необходимым и достаточным для этого условием является превышение ожидаемого дохода по рисковым активам альтернативных издержек.

Приведенный анализ позволяет лучше понять экономический смысл условия оптимизации и записать его в виде

E[U'()] = E[]i

или, используя определение ковариации:

Е[U'()] + cov (,) = iE[U'()].

Полагая, что E[U'()] = E (U') строго положительно, разделим обе части уравнения на E (U') и перепишем условие оптимизации

(1.5)

Правая часть выражения (1.5) представляет предельные издержки, альтернативные издержки покупки дополнительной единицы. Левая сторона показывает совокупную предельную выгоду, которая состоит из двух элементов: математического ожидания дохода (не что иное, как прирост ожидаемого конечного дохода от одной предельной единицы, инвестируемой в рисковые активы) и психологических издержек дополнительного риска, связанного с инвестициями в рисковые активы.

Повышение увеличивает конечное благосостояние w_f и, исходя из закона убывающей предельной полезности, снижает предельную полезность U', следовательно, имеет место отрицательная ковариация между случайными величинами и U'(). Таким образом, для всех, а > 0 второе слагаемое (психологические издержки дополнительного риска) будет отрицательным.

На рис. 1.5 представлен оптимальный объем спроса на рисковые активы а*. На оси абсцисс отложим спрос на рисковые активы, а на оси ординат — гарантированный уровень дохода на одну денежную единицу, инвестируемую в безрисковые активы (i) и математическое ожидание дохода Е () =. Параметры и i отмечены горизонтальными линиями, так как они не зависят от решения экономического агента. Вычитая из предельные издержки риска, получаем кривую, точки на которой представляют совокупную предельную выгоду от увеличения вложений в рисковые активы. Оптимальный объем спроса на рисковые активы установится в точке на кривой, которая соответствует значению i.

На основе формализации неоклассического подхода к принятию инвестиционных решений в теории инвестиционного анализа и риск-менеджмента были разработаны методы оценки риска. Для проверки устойчивости инвестиционных проектов, связанных с реальным сектором экономики, может быть использована имитационная модель оценки рисков.

Рис. 1.5. Спрос на рисковые активы