Макроэкономическое планирование и прогнозирование

Исходные данные

Численность наличного населения города, А за 2001;2009 гг. (на начало года), тыс. чел.

Объем продажи плодоовощных консервов в городе за 2006;2009 гг. (тыс.тонн)

Задание 1

скользящий экспоненциальный сглаживание прогноз.

• 1. Метод скользящей средней
• 1. Определим величину интервала сглаживания, например равную 3 (n=3)
• 2. Рассчитаем скользящую среднюю для первых трех периодов:

M₂₀₀₂ = (у₂₀₀₁+у₂₀₀₂+у₂₀₀₃): 3 = (119 +120 + 119) :3 = 119,3.

Полученное значение заносим в таблицу в середину взятого периода. Далее рассчитываем m для следующих периодов:

M₂₀₀₃ = (у₂₀₀₂+у₂₀₀₃+у₂₀₀₄): 3 = (120 + 119+118) :3 = 119.

M₂₀₀₄ = (у₂₀₀₃+у₂₀₀₄+у₂₀₀₅): 3 = (119+118+ 118,6) :3 = 118,5.

m₂₀₀₅ = (у₂₀₀₄+у₂₀₀₅+у₂₀₀₆): 3 = (118+ 118,6+ 118) :3 = 118,2.

m₂₀₀₆ = (у₂₀₀₅+у₂₀₀₆+у₂₀₀₇): 3 = (118,6+ 118+ 117,9) :3 = 118,1.

m₂₀₀₇ = (у₂₀₀₆+у₂₀₀₇+у₂₀₀₈): 3 = (118+ 117,9+ 117,7) :3 = 117,9.

m₂₀₀₈ = (у₂₀₀₇+у₂₀₀₈+у₂₀₀₉): 3 = (117,9+ 117,7+ 117,4) :3 = 117,7.

Для решения задачи составим таблицу:

Годы.	Численность населения, тыс. чел.	Скользящая средняя.	Расчет средней относительной ошибки.
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009	119 120 119 118 118,6 118 117,9 117,7 117,4	- 119,3 119 118,5 118,2 118,1 117,9 117,7 -	- 0,583 0 0,424 0,337 0,085 0 0
Итого.	1,429.
Прогноз 2010.	117,57 117,57

3. Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на 2010;2011 годы:

У₂₀₁₀ = 117,7 +1/3 Ч (117,4 — 117,7) = 117,6.

Определяем скользящую среднюю m для 2010 г:

m₂₀₁₀ = (117,7+ 117,4+117,6) :3 = 117,57.

Строим прогноз на 2001 год:

У₂₀₁₁ = 117,6 +1/3 Ч (117,57- 117,4) = 117,7.

Определяем скользящую среднюю m для 2011 г:

m₂₀₁₁ = (117,4+117,6+117,7) :3 = 117,57.

Заносим полученные результаты в таблицу.

Рассчитываем среднюю относительную ошибку:

е = 1,429 :7 = 0,204%.

Метод экспоненциального сглаживания.

Определяем значение параметра сглаживания: 2/(n +1) = 2/(9+1) = 0,2.

Определяем начальное значение U₀ двумя способами:

• 1 способ (средняя арифметическая): U₀ = 1065,6: 9 = 118,4
• 2 способ (принимаем первое значение базы прогноза): U₀ = 119

Составим таблицу:

Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого года:

1 способ:

U₂₀₀₂ = 120 Ч 0,2 +(1 — 0,2) Ч 118,4 = 118,72.

U₂₀₀₃ = 119 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,72 = 118,78.

U₂₀₀₄ = 118 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,78= 118,62.

U₂₀₀₅ = 118,6 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,62 = 118,61.

U₂₀₀₆ = 118Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,61 = 118,49.

U₂₀₀₇ = 117,9 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,49 = 118,37.

U₂₀₀₈ = 117,7 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,37 = 118,24.

U₂₀₀₉ = 117,4 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,24 = 118,07.

2 способ:

U₂₀₀₂ = 120 Ч 0,2 +(1 — 0,2) Ч 119= 119,2.

U₂₀₀₃ = 119 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 119,2= 119,16.

U₂₀₀₄ = 118 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 119,16= 118,93.

U₂₀₀₅ = 118,6 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,93 = 118,86.

U₂₀₀₆ = 118Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,86 = 118,69.

U₂₀₀₇ = 117,9 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,69 = 118,53.

U₂₀₀₈ = 117,7 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,53 = 118,36.

U₂₀₀₉ = 117,4 Ч 0,2 + (1 — 0,2) Ч 118,36 = 118,17.

Рассчитываем прогнозные значения:

1 способ:

U₂₀₁₀= 117,4 Ч 0,2 +(1 — 0,2) Ч 118,07 = 117,94.

2 способ:

U₂₀₁₀ = 117,4 Ч 0,2 +(1 — 0,2) Ч 118,17= 118,02.

Средняя относительная ошибка:

• 1 способ: е = 4,133: 9 = 0,459%
• 2 способ: е = 4,144: 9 = 0,460%

Метод наименьших квадратов

Для решения используем следующую таблицу:

Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза. Рассчитаем графы 4 и 5.

у_р определяем по формуле:

у_t+1=aЧX+ b

коэффициенты a и b по формулам:

= = -0,26.

== 119,7.

У2001= -0,26Ч1 + 119,7 = 119,44

У₂₀₀₂= -0,26Ч2+ 119,7 = 119,18.

У₂₀₀₃= -0,26Ч3 + 119,7 = 118,92.

У₂₀₀₄= -0,26Ч4 + 119,7 = 118,66.

У₂₀₀₅= -0,26Ч5 + 119,7 = 118,4.

У₂₀₀₆=-0,26Ч6 + 119,7 = 118,14.

У₂₀₀₇= -0,26Ч7 + 119,7 = 117,88.

У₂₀₀₈= -0,26Ч8 + 119,7 = 117,62.

У₂₀₀₉= -0,26Ч9+ 119,7 = 117,36.

Заносим полученные результаты в таблицу. Определяем прогнозные значения.

У₂₀₁₀= -0,26Ч10 + 119,7 = 117,1.

У₂₀₁₁= -0,26Ч11 + 119,7 = 116,84.

Рассчитываем среднюю относительную ошибку:

е = 2,086: 9 = 0,23%.

Сравнив полученные результаты, мы можем сделать вывод, что наиболее достоверный прогноз получен методом скользящей средней, так как доля ошибки при прогнозировании этим методом всего 0,204%.

Задание 2

1. Представим исходные данные графически. По оси Х отложим параметр времени (годы и кварталы), а по оси У — объем продаж плодоовощных консервов. Определим наличие сезонных колебаний.

Как мы видим из диаграммы, объем продаж плодоовощных консервов достигает максимальных значений во 2 квартале каждого года. Следовательно, присутствуют сезонные колебания.

2. Составим таблицу.

• 3. 4-квартальные суммы рассчитываем суммированием уф за четыре рядом стоящих квартала:
• 4-квартальные средние = 4-квартальные суммы: 4.

В таблице их ставим в середину суммируемых кварталов.

Центрированные средние рассчитываются как сумма двух 4-квартальных средних, деленная на 2.

4. Показатели сезонности: Псезон = уф: центрированные средние Ч 100%

Определяем индексы сезонности для каждого квартала (Ij). Для расчета берутся показатели сезонности, суммируются поквартально и делятся на количество суммированных значений.

Для первого квартала I₁ = (108,51+ 114,29 +109,88) :3 = 110,89.

Для второго квартала I₂ = (123,92+ 127,97 +123,53) :3 = 124,14.

Для третьего квартала I₃ = (59,8 + 64,23 +53,68) :3 =59,24.

Для четвертого квартала I₄ = (112,97+ 107,50 +116,62) :3 = 112,36.

5. ур определяем по формуле:

У_р=aЧX+ b

коэффициенты a и b по формулам:

= = 0,19.

== 10,4.

Рассчитываем у_р и вносим полученные результаты в таблицу.

6. Строим прогноз на 2010, 2011 годы с разбивкой по кварталам:

У_t+1= (aЧX+ b) Ч Ij: 100

2010: у₁= (0,19Ч17+ 10,4) Ч 110,89: 100 = 15,11.

у₂= (0,19Ч18+ 10,4) Ч 124,14: 100 = 17,16.

у₃= (0,19Ч19+ 10,4) Ч 59,24: 100 = 8,3.

у₄= (0,19Ч20+ 10,4) Ч 112,36: 100 = 15,96.

2011: у₁= (0,19Ч21+ 10,4) Ч 110,89: 100 = 15,96.

у₂= (0,19Ч22+ 10,4) Ч 124,14: 100 = 18,10.

у₃= (0,19Ч23+ 10,4) Ч 59,24: 100 = 8,75.

у₄= (0,19Ч24+ 10,4) Ч 112,36: 100 = 16,81.

7. Средняя относительная ошибка рассчитывается как частное от деления суммы значений в графе 12 на количество периодов базы прогноза:

е = 455,48: 16 = 28,47%.

Ефимова М.П., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики — М.: Инфра — М, 2003.

Общая теория статистики /Под. ред. Боярского А. Я., Громыко Г. Л., — М.: ИНФРА-М, 2012.

Практикум по статистике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В. М. Симчеры / ВЗФЭИ. — М.: ЗАО «Финстатинформ», 2009.