Расчёт аддитивных и мультипликативных составляющих погрешностей результатов измерений

По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешности (рис. 3.1):

• · аддитивные, не зависящие от измеряемой величины;
• · мультипликативные, которые прямо пропорциональны измеряемой величине;
• · нелинейные, имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины.

Эти погрешности применяют в основном для описания метрологических характеристик СИ. Разделение погрешностей на аддитивные, мультипликативные и нелинейные весьма существенно при решении вопроса о нормировании и математическом описании погрешностей СИ.

Примеры аддитивных погрешностей — от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока. Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: изменение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.

Данные разновидности погрешностей иногда называют также так:

аддитивные—— погрешность нуля;

мультипликативные——-погрешность крутизны характеристики;

нелинейные————- погрешность нелинейности.

Рис. 3.1. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и нелинейная (в) погрешности

В связи с тем, что аддитивная и мультипликативная составляющие погрешности характерны для средства измерения, причём в диапазоне измеряемых величин, то исходя из заданного истинного (действительного) значения линейного размера элемента конструкции (17м), допустим, что использованное средство измерений, позволяет производить измерения в диапазоне от 1 м до 100 м, причём обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью, которое рассчитано по формуле (2.5) в 2-ом разделе данной работы. Исходя из выбранного диапазона измерений средства измерений (1м — 100м), возьмём из него, например, 10 равноудалённых фиксированных (эталонных) значений линейного размера элемента конструкции, включая заданное истинное (действительное) значение, равное 17 метра. В результате ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров, использованным средством измерения, будет иметь вид: 7; 17; 27; 37; 47; 57; 67; 77; 87; 97 (м).

Используя выражение (2.5), можно определить значения суммарной абсолютной погрешности для всех членов ряда, а именно:

(3.1).

Рассчитанные значения суммарной абсолютной погрешности для всех членов ряда, с учётом выполнения правил округления результатов измерений и погрешностей измерений (приведены в Приложении 1), представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

Результаты расчетов суммарной, аддитивной и мультипликативной абсолютных погрешностей.

Используя результаты расчётов суммарной абсолютной погрешности и ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров, строится график (см. Рис. 3.2) зависимости, при этом апроксимируются точки по которым он строится. На осях графика обозначаются начальные и конечные значения диапазона измерения средства измерения (Lэн = 1 м и Lэк =100 м) и максимального значения суммарной погрешности Д_с (Д_ск = - 11,5 м).

На полученном графике (Рис. 3.2) выделяется аддитивная составляющая (Д_а) суммарной абсолютной погрешности (Д_с), которая равна суммарной абсолютной погрешности при минимальном (начальном) значении эталонных значений линейных размеров (в начале диапазона измерений СИ), т. е. Д_а= - 0,89 м.

Строится график (Рис. 3.3) зависимости абсолютной аддитивной погрешности Д_а= f (L_ЭТ.i), который представляет собой прямую параллельную оси абсцисс, проходящей из точки с ординатой Д_а= -0,89 м.

Рис. 3.2. График суммарной абсолютной погрешности

Рис. 3.3. График абсолютной аддитивной погрешности

На полученном графике (см. Рис.3.2) зависимости, выделяется график мультипликативной составляющей Д_м= f (L_ЭТ), который идёт параллельно графику суммарной абсолютной погрешности, но начинается не из точки с координатами (7; 0,89), а из точки с координатами (7; 0), т.к., то и На осях графика обозначаются начальные и конечные значения диапазона изменения линейного размера L_ЭТ (Lэн = 7 м и Lэк = 97 м) и максимального значения мультипликативной погрешности Д_м (Д_мк = 11,5 м). Результаты расчета абсолютной мультипликативной погрешности приведены в таблице 3.1, а график на рисунке 3.4.

Исходя из того, что использованное средство измерения обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью -12,7%, которое рассчитано по формуле (2.5) в 2-ом разделе данной работы и использовалось для выделения аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей измерений в данном разделе работы, то графиком этой погрешности будет горизонтальная прямая с ординатой -10,0% для всего диапазона изменения линейного размера L_ЭТ.

Рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности () для каждого измерения средством измерения, используя полученное значение Д_а= -0,89 м и зависимость вида:

Результаты расчётов относительных аддитивных составляющих погрешностей () представлены в таблице 3.2, а график на Рис. 3.5.

Рис. 3.4. График абсолютной мультипликативной погрешности.

Таблица 3.2.

Результаты расчётов относительных составляющих погрешностей измерений.

Рис. 3.5. График относительной аддитивной погрешности.

Используя результаты расчётов абсолютной мультипликативной составляющей погрешности, которые приведены в таблице 3.1, рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности () для каждого измерения средством измерения, используя зависимость вида:

Результаты расчётов относительных мультипликативных составляющих погрешностей () представлены в таблице 3.2, а график на Рис. 3.6.

Рис. 3.6. График относительной мультипликативной погрешности.