Расчет статической модели гидросистемы

При постоянном воздействии система находится в установившемся равновесном состоянии. Ее фазовая координата (давление Р и расход Q) при этом постоянна. Такой режим функционирования системы называется статическим и достигается при постоянном внешнем воздействии:

• — давления к потребителю (Р_В1, P_В2),
• — подачи насоса Q_H.

При этом устанавливаются постоянные значения фазовых координат системы:

• — расход в гидромагистралях,
• — давление в упругом элементе.

Из данного утверждения следует:

(41).

Из (29) и (31) получаем систему для статического режима:

(42).

Учитывая нелинейные свойства диссипативных элементов гидравлической системы, их компонентное уравнение имеет вид:

(43).

Перенесем в правую часть системы внешние воздействия, тогда статическая модель будет иметь вид:

(44).

Для ее решения используются численный метод, для которого предварительно сформируем матрицу Якоби. Элементами матрицы Якоби для сформированной нелинейной системы являются частные производные от нелинейной вектор-функции по фазовым координатам системы (Q₁, Q₂, Q_н, P_У1).

(45).

Нахождение частной производной по расходу от давления в диссипативном элементе (43) имеет вид:

(46).

Матрица Якоби исходной гидросистемы имеет вид:

тогда матрица (47) принимает вид:

Для решения статической модели используем численный метод Ньютона, алгоритм которого включает следующие этапы:

• — выбор начального приближения, где — вектор фазовых координат (Q₁, Q₂, P_У1), V₀ — нулевой вектор-столбец;
• — вычисление матрицы Якоби J_k в точке _K (k=0, 1, 2 …);
• — вычисление вектора невязок. Вектор невязок получается из системы уравнений (32) для статического режима:

(48).

— определение вектора поправок:

. (49).

— определение нового приближения вектора искомых фазовых переменных:

. (50).

— проверка условия окончания итерационного процесса, при выполнении условия, что V_k и V_k+1 соизмеримы (совпадают до десятых), иначе происходит переход на предыдущие этапы и вычисляется следующая итерация.

Расчет фазовых координат при статическом процессе произведен в математическом пакете MathCad.

При Q_H = 200*10^-6 м³/с решением является матрица:

(51).

При Q_H = 400*10^-6 м³/с решением является матрица:

(52).

Результаты вычислений приведены в таблице 5:

Таблица 5 — Результаты статического анализа.