Структура математической модели

Из приведенного общего определения системы следует, что природа элементов системы может быть различна. Это качество системы и принципы системного подхода в целом позволяют подойти к исследованию систем на довольно высоком содержательном уровне. Наполнение системы определяет её предметную направленность и этим предопределяют методологию и технологию её исследования. Задачи исследования могут быть разными. В настоящей работе ставится задача исследования напряжённо-деформированного состояния системы деформируемых твёрдых тел в целом и на уровне её отдельных элементов. Для этого в каждом конкретном случае необходимо определить содержание системы, т. е. её границы и наполнение. Всё это обусловит облик исследуемой системы. В настоящей работе рассматриваются сложные системы деформируемых твёрдых тел: системы механики грунтов и строительной механики. Математическая модель сложной системы получается как синтез математических моделей её элементов.

При построении сложных систем лучше всего вводить декомпозицию и деление на модули. Полученная совокупность моделей повторит структуру и иерархию самой системы. Как видим, здесь принцип тот же, что и при построении математических моделей простых систем, только понятие «элемент» заменяется понятием «модуль» и, соответственно, понятие «математическая модель элемента» заменяется понятием «математическая модель модуля». Отметим, что основной спецификой моделирования систем является учёт связей между отдельными моделями. Изложенный материал позволяет дать более строгое определение математической модели системы или объекта.

Математическая модель это некоторый абстрактный образ, т. е. конечная совокупность логико-математических предложений, адекватно отражающих основные закономерности и особенности оригинала, т. е. реального объекта или системы, которые имеют свою среду (пространство) и условия существования.

Всякая реальная система или объект всегда имеют определенные связи с внешней средой, которая налагает свои условия на их существование и функционирование. Все эти и другие качества в математической модели должны иметь своё отображение, а это значит, что математическая модель может иметь свою структурную схему. В самом общем случае эта структурная схема автором представлена следующим образом:

• 1) Математическая модель среды существования системы,
• 2) Математическая модель состояния среды системы или объекта,
• 3) Условия связи системы с внешней средой,
• 4) Математическая модель основной функции системы,
• 5) Математическая модель результата решения.

Математическое наполнение элементов этой структуры зависит от класса моделируемых задач и даже от особенностей задач одного класса. Для краевых задач механики грунтов приведенная структурная схема имеет вид:

• 1) Геометрическая модель деформируемой среды,
• 2) Уравнения состояния элементов деформируемой среды,
• 3) Система краевых условий,
• 4) Условия равновесия (устойчивости) системы,
• 5) Математическая модель результата решения.

Известно, что наиболее трудным этапом системных исследований является построение и оценка адекватности математической модели реальной системе. Предлагаемая структурная схема является общим эффективным алгоритмом построения математических моделей систем или объектов.

Таким образом, в процессе математического моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами:

• 1) с системой (реальной, проектируемой, воображаемой),
• 2) с математической моделью системы,
• 3) с алгоритмической (машинной) моделью.

В соответствии с этим возникают следующие задачи:

• 1) определение и формирование системы,
• 2) построение математической модели системы,
• 3) разработка алгоритмической (машинной) модели,
• 4) разработка программного комплекса.

В современной науке и технике возникающие проблемы, как правило, сводятся к построению математических моделей систем и разработке методов их исследования. Процесс моделирования содержит определённые этапы. На рисунке 2.1 представлена структурная схема процесса математического моделирования, состоящая из восьми этапов.

Рисунок 2.1 — Технологическая схема процесса математического моделирования Подобное деление на этапы является несколько условным, но приведенное содержание этапов является в любом случае обязательным. При выполнении этапа 1 необходимо формировать систему так, чтобы она с максимальной полнотой соответствовала поставленному классу задач и здесь нельзя ограничиваться каким-либо частным случаем.

Главным критерием достоверности исследования системы является оценка полученных результатов на основании имеющихся экспериментальных данных и (или) решений, полученных иным путем, например, аналитически.