Расчет LC-фильтра, ARC-фильтра, амплитудного корректора

Санкт-Петербургский Государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича ФАКУЛЬТЕТ ВЕЧЕРНЕГО И ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ КУРСОВАЯ РАБОТА Расчет LC-фильтра, ARC-фильтра, амплитудного корректора.

по дисциплине «ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

• Задача № 1. Расчет LC-фильтра
• 1.1 Проектирование схемы фильтра
• 1.2 Расчет номинальных значений параметров фильтра
• 1.3 Расчет и построение характеристики ослабления проектируемого фильтра
• Задача № 2. Расчет arc-фильтра
• 2.1 Проектирование схемы фильтра
• 2.2 Расчет параметров элементов ARC — фильтра
• 2.3 Расчет и построение характеристики ослабления проектируемого фильтра
• Задача № 3. Расчет амплитудного корректора
• 3.1 Определить требуемую характеристику
• 3.2 Решить аппроксимационную задачу
• 3.3 Проверка заданной точности коррекции
• 3.4 Определение нормированной передаточной функции корректора
• 3.5 Построение схемы корректора и вычисление параметров его элементов
• Литература

Задача № 1. Расчет LC-фильтра

ВАРИАНТ Д

М=1, N=3.

РАСЧЕТ LC-ФИЛЬТРА.

Рассчитать двухсторонне нагруженный LC-фильтр, полагая, что его элементы имеют пренебрежимо малые потери. Величину внутреннего сопротивления, питающего фильтр, принять равной = 100 N Ом. Неравномерность характеристики ослабления фильтра в полосе пропускания должна составлять у фильтров с характеристикой Чебышева 1,25 дБ.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

Фильтр верхних частот с характеристикой Чебышева.

кГц; кГц; дБ;

где

— минимально допустимое рабочее ослабление в полосе задерживания;

— граничная частота полосы пропускания для ФВЧ;

— граничная частота полосы задерживания для ФВЧ.

По номеру студенческого билета М = 1, N=3

Поэтому = 4,2 * 1 = 4,2 кГц

= 3 * 1 = 3 кГц.

=100N= 100*3=300 Ом.

ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ТРЕБУЕТСЯ:

1. Привести схему фильтра и таблицу значений параметров его элементов.

2. Привести качественную характеристику ослабления фильтра.

3. Рассчитать ослабления на границе полосы задерживания.

4. Составить пояснительную записку с ясным изложением процедуры расчета фильтра.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ.

1.1 Проектирование схемы фильтра

Под электрическим фильтром понимают линейную цепь, пропускающую колебания одних частот с малым ослаблением, а колебания других частот — с большим ослаблением. Полосу частот, в которой ослабление мало, называют полосой пропускания, а полосу частот, в которой ослабление велико — полосой задерживания. В зависимости от расположения полос пропускания и задерживания различают фильтры нижних частот, фильтры верхних частот, полосовые и режекторные.

При расчете фильтра используется метод, основанный на частотном преобразовании низкочастотного фильтра-прототипа (ФПНЧ).

Определим порядок ФПНЧ.

Для фильтра с характеристикой Чебышева:

(1)

Здесь дБ — неравномерность характеристики ослабления в полосе пропускания; - нормированная граничная частота полосы задерживания для ФПНЧ.

= 1,4

= 5,68

Округляем полученную цифру до большего числа и получаем количество реактивных элементов в схеме фильтра = 6.

Приведем схему ФПНЧ шестого порядка:

Рисунок 1 — Схема ФПНЧ — шестого порядка

Значения параметров элементов ФПНЧ для фильтров с характеристикой Чебышева при дБ приведено в таблице 1.

Таблица 1

Элементы двусторонне нагруженного ФПНЧ с характеристикой Чебышева, дБ.

Т.е. для нашего проектируемого фильтра: = 2,339, = 1,046, = 3,267, = 1,089, = 3,140, = 0,7798, = 3,000

Параметры элементов проектируемого фильтра могут быть определены путем соответствующего пересчета параметров элементов низкочастотного фильтра. Данные для расчета приведены в таблице 2.

Таблица 2

Преобразование элементов ФПНЧ в элементы фильтра.

В итоге имеем, для того чтобы получить схему ФВЧ, нужно в схеме ФПНЧ заменить каждую индуктивность емкостью, каждую емкость — индуктивностью.

Изобразим схему нашего проектируемого ФВЧ:

Рисунок 2 — Схема ФВЧ Чебышева шестого порядка

1.2 Расчет номинальных значений параметров фильтра

Для вычисления номинальных значений параметров, воспользуемся формулами:

(2)

(3)

(4)

Где — 1,2,3 (номер элемента фильтра);

и высчитываются по формулам, приведенным в таблице 2.

В итоге получаем:

нФ

нФ

нФ

Ом

Таблица 3

Таблица значений параметров элементов фильтра.

1.3 Расчет и построение характеристики ослабления проектируемого фильтра

Характеристику ослабления проектируемого фильтра следует получить частотным преобразованием характеристики ослабления ФПНЧ, которая определяется видом аппроксимации.

При аппроксимации по Чебышеву:

(5)

где дБ — неравномерность характеристики ослабления в полосе пропускания;

n - порядок ФПНЧ;

— полином Чебышева n — го порядка.

Значения полиномов Чебышева для фильтра 6-го порядка определяются выражением:

= (6)

Для построения качественной характеристики ослабления фильтра возьмем несколько точек в диапазоне

.

Где для ФВЧ рекомендуемые значения граничных частот (кГц):

здесь

n — порядок ФПНЧ.

Расчет для частоты =3 кГц (на границе полосы задерживания).

Найдем:

дБ

Остальные расчеты сведены в таблицу 4.

Таблица 4.

Таблица расчета характеристики ослабления фильтра.

По данным таблицы 4 построим график характеристики ослабления нашего проектируемого фильтра. График изображен на рисунке 3.

Рисунок 3 — Характеристика ослабления ФВЧ 6-го порядка с характеристикой Чебышева фильтр амплитудный корректор параметр

Задача № 2. Расчет arc-фильтра

ВАРИАНТ Д

М=1, N=3.

Рассчитать активный RC (ARC) — фильтр. Заданная неравномерность характеристики ослабления фильтра в полосе пропускания должна составлять для фильтров с характеристикой Баттерворта 3 дБ.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

Фильтр нижних частот с характеристикой Баттерворта.

кГц; кГц; дБ;

где — минимально допустимое рабочее ослабление в полосе задерживания;

— граничная частота полосы пропускания ФНЧ;

— граничная частота полосы задерживания ФНЧ.

По номеру студенческого билета М = 1.

Поэтому = 1,9 * 1 = 1,9 кГц

= 4,3 * 1 = 4,3 кГц.

В РЕЗУЛЬТАТЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРЕБУЕТСЯ:

1. Привести схему фильтра и таблицу значений параметров его элементов.

2. Привести качественную характеристику ослабления фильтра.

3. Составить пояснительную записку и изложением процедуры расчета.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ.

2.1 Проектирование схемы фильтра

ARC — фильтры предназначены для тех же целей, что и LC — фильтры, но выполняются они на иной элементной базе: индуктивности в их схемах отсутствуют, но содержатся элементы в виде, например гираторов, усилителей с бесконечно большим усилением (операционных усилителей) либо усилителей с конечным усилением.

Как и при расчете LC-фильтра, прежде всего, следует определить порядок фильтра — прототипа. Для фильтра с характеристикой Баттерворта:

(7)

здесь

дБ — неравномерность характеристики ослабления в полосе пропускания;

— нормированная граничная частота полосы задерживания для ФПНЧ.

= 2,26, = 3,73

Округляем полученную цифру до ближайшего большего числа. Получаем, что порядок нашего фильтра = 4.

Определив порядок ФПНЧ, можно с точностью до постоянного множителя записать его передаточную функцию в виде:

(8)

Где — полином Гурвица степени n.

Сомножители полинома приведены в таблице 5.

Таблица 5

Сомножители полинома Гурвица для ФПНЧ с характеристикой Баттерворта при а = 3 дБ

Так для нашего ФПНЧ четвертого порядка с характеристикой Чебышева руководствуясь таблицей 5, записываем:

(9)

Зная передаточную функцию ФПНЧ, можно найти передаточную функцию проектируемого фильтра путем соответствующего частотного преобразования. Тогда для получения передаточной функции фильтра нижних частот следует в передаточной функции ФПНЧ заменить переменную на. В результате такого преобразования получим:

(10)

Где

— заданная граничная частота полосы пропускания фильтра.

Немного преобразуем, выражение (10) и в результате получаем передаточную функцию нашего проектируемого фильтра:

(11)

На рисунке 4 изображено ARC — звено (ФНЧ второго порядка).

Рисунок 4 — Схема ARC — ФНЧ второго порядка В качестве активного элемента используется усилитель с конечным усилителем К. Передаточная функция этого звена при условии, что и имеет вид:

(12)

Очевидно, с помощью такого звена может быть реализована нижнечастотная передаточная функция второго порядка:

(13)

Такие ARC — звенья пригодны для каскадно-развязной реализации передаточных функций высокого порядка. Связано это с тем, что выходное сопротивление рассмотренных звеньев весьма мало (теоретически равно 0), поэтому при их каскадном соединении передаточная функция всей цепи окажется равной произведению передаточных функций ARC — звеньев.

Наш проектируемый фильтр имеет четвертый порядок. На рисунке 4 ARC — звено второго порядка. Соединив каскадно, эти звенья получим наш проектируемый фильтр нижних частот четвертого порядка:

Рисунок 5 — Схема ARC — ФНЧ Баттерворта четвертого порядка Его передаточная функция:

(14)

Нижнечастотная передаточная функция четвертого порядка имеет вид:

(15)

2.2 Расчет параметров элементов ARC — фильтра

Уравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p в выражениях (14) и (15) получаем выражения, из которых можно найти емкости и коэффициенты усиления усилителей нашего проектируемого фильтра.

отсюда (16)

отсюда (17)

отсюда (18)

отсюда (19)

Здесь (из выражения (11))

где

1/с

Величиной R следует задаться. Рекомендуется выбрать её 10*М кОм.

В результате R = 10*1 = 10 кОм.

Найдем неизвестные величины:

= 8,4 нФ

= 8,4 нФ

Оформим полученные данные в таблицу 6:

Таблица 6

Значение параметров элементов фильтра.

2.3 Расчет и построение характеристики ослабления проектируемого фильтра

При построении характеристики ослабления фильтров удобно предположить, что ослабление фильтра нижних частот на нулевой «частоте» равно нулю. Тогда все соображения, указанные для построения характеристик ослабления пассивных LC — фильтров в задаче № 1, остаются в силе для ARC — фильтров. Надо только учитывать, что активные фильтры в отличие от пассивных могут усиливать сигнал.

Расчет ослабления фильтра (для фильтра с характеристикой Баттерворта) произведем по формуле:

(20)

где n — порядок фильтра (у нас четвертый порядок).

дБ — неравномерность характеристики ослабления в полосе

пропускания для фильтра с характеристикой Баттерворта.

— нормированная граничная частота полосы задерживания для

ФПНЧ.

= 1,9 кГц

берем с шагом 100 Гц (таблица 7).

Рассчитаем:

= 0 дБ

= 0,25 дБ

Остальные расчеты сведены в таблицу 7.

Рассчитав по формуле (20) ослабления фильтра, получим частотную характеристику фильтра без учета усиления (на графике (рис.6) изображено пунктирной линией).

У нас два усилителя с = 2,233 и = 1,148. Учтем их при расчете ослабления нашего фильтра.

дБ

В итоге получаем, что ARC — звенья (в нашем случаи) усиливают сигнал на 8,177 дБ. Т. е. каждое полученное значение ослабления на каждой частоте надо увеличить на — 8,177 дБ.

дБ

дБ

Остальные расчеты сведены в таблицу 7.

Получившийся график характеристики ослабления ARC — фильтра изображен на рис. 6 сплошной линией. Рассчитанные данные ослабления фильтра отражены в таблице 7. Где столбец с (дБ) — данные без учета усиления, столбец (дБ) — данные с учетом рассчитанного усиления.

Таблица 7.

Таблица расчета характеристики ослабления фильтра.

По данным таблицы 7 построим график ослабления ARC — ФНЧ с характеристикой Баттерворта, с учетом коэффициентов усиления (сплошная линия) и без учета коэффициентов усиления (пунктирная линия).

Рисунок 6 — Характеристика ослабления ARC — ФНЧ Баттерворта четвертого порядка (сплошная линия)

Задача № 3. Расчет амплитудного корректора

ВАРИАНТ Д

М=1, N=3

Рассчитать амплитудный корректор по заданной характеристике рабочего ослабления (затухания) канала связи .

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

Таблица 8

Суммарная характеристика рабочего ослабления цепи, полученной путем каскадного соединения канала связи и амплитудного корректора, должна отклонятся в заданном частотном интервале от постоянного, частотно-независимого значения на величину, не превышающую 1,5 дБ.

Корректор должен быть рассчитан на равные с двух сторон нагрузочные сопротивления Ом и выполнен в виде перекрытой Т — образной схемы постоянного входного сопротивления.

В РЕЗУЛЬТАТЕ РАСЧЕТА ДОЛЖНЫ БЫТЬ ПРЕДОСТАВЛЕНЫ:

1. Схема корректора с указанием значений параметров элементов.

2. Графики требуемой, рассчитанной и = - частотных характеристик ослабления.

3. Пояснительная записка с ясным изложением процедуры расчета.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ.

3.1 Определить требуемую характеристику

РАБОЧЕГО ОСЛАБЛЕНИЯ КОРРЕКТОРА

Амплитудный корректор (АК) — четырехполюсник, предназначенный для уменьшения амплитудно — частотных искажений, возникающих в канале связи. С этой целью в одном из сечений канала включается АК, характеристика рабочего ослабления которого в сумме с характеристикой рабочего ослабления канала обеспечивает постоянное результирующее ослабление в заданном диапазоне частот .

При расчетах удобнее использовать, а не f. Поэтому пересчитаем f по формуле:

(21)

По исходным данным (таблица 8):

кГц

кГц

кГц

кГц

кГц

кГц

кГц

кГц

По формуле (21) имеем:

1/с

1/с

1/с

1/с

1/с

1/с

1/с

1/с

Для удобства последующих расчетов целесообразно пронормировать частоты относительно некоторой фиксированной частоты. Последняя может быть выбрана, например, как средняя арифметическая границ частотного диапазона:

(22)

1/с

Найдем нормированные частоты по формуле:

(23)

Чтобы определить требуемую характеристику рабочего ослабления корректора, для этого зададимся результирующей характеристикой:

(21)

Где — максимальное значение ослабления канала в диапазоне частот. По таблице 8 max дБ. Найдем по формуле (21) .

дБ

Вычислим требуемое ослабление корректора по формуле:

(22)

дБ дБ

дБ дБ

дБ дБ

дБ дБ

Таблица 9

По данным таблице 9 построим график характеристики требуемого рабочего ослабления корректора в зависимости от нормированной частоты — сплошная линия (рисунок 7).

Рисунок 7 — Характеристика рабочего ослабления амплитудного корректора (сплошная линия)

3.2 Решить аппроксимационную задачу

Решить аппроксимационную задачу, т. е. найти функцию, представляющую собой амплитудно-квадратичную характеристику, которая обеспечивает требуемую точность характеристики рабочего ослабления рассчитываемого корректора. Так как требуемая характеристика ослабления корректора с ростом частоты убывает, то функцию следует искать в виде:

(23)

Здесь есть два неизвестных коэффициента, А и В. Так как амплитудно-квадратичная характеристика корректора связана с характеристикой ослабления соотношением:

(24)

Для отыскивания двух неизвестных коэффициентов необходимо составить два уравнения вида:

i = 1,2. (25)

для двух выбранных узлов интерполяции на частотах и. Например, возьмем и .

Ослабление на этих частотах дБ и дБ.

Это показано на рисунке 7 пунктирными линиями. Далее составляем два уравнения:

Решив их относительно, А и В, находим, А = 0,383 и В = 0,585. Следовательно, искомая функция:

(26)

Эта функция удовлетворяет условиям реализуемости, т.к. А > 0, B > 0 и, кроме того, А < 1.

3.3 Проверка заданной точности коррекции

Убедившись, что функция реализуема, проверим, удовлетворяет ли заданной точности коррекции она, т. е. выполняется ли на всех заданных частотах в интервале условие:

дБ (27)

Для этого сначала по формуле (26) рассчитаем функцию для каждой частоты:

Остальные расчеты аналогичны и сведены в таблицу 10:

Таблица 10

Далее по формуле (24) вычислим :

дБ Таблица 11

Таблица рассчитанного рабочего ослабления корректора

По данным таблицы 11 построим график зависимости рассчитанного от (рисунок 8 — штрих-пунктирная линия).

Рисунок 8 — Характеристика рабочего ослабления амплитудного корректора (штрих — пунктирная линия) Проверяем, выполняется ли на всех заданных частотах в интервале условие по формуле (27):

дБ

дБ

дБ

дБ

дБ

дБ

дБ

дБ Таблица 12

Таблица допустимого отклонения

Найдя пределы допустимого отклонения (таблица 12), построим график зависимости от нормированной частоты — штрих пунктирная линия (рисунок 9).

Рисунок 9 — Характеристика рабочего ослабления амплитудного корректора с учетом пределов допустимого отклонения (штрих — пунктирная линия)

3.4 Определение нормированной передаточной функции корректора

Определим нормированную передаточную функцию корректора. Для нашей функции передаточная функция будет:

(27)

В этих выражениях

Найдем их:

3.5 Построение схемы корректора и вычисление параметров его элементов

Амплитудные корректоры обычно выполняются в виде перекрытой Т-образной цепи постоянного входного сопротивления (рисунок 10)

Рисунок 10 — Общая схема амплитудного корректора

Если такая цепь с двух сторон нагружена на одинаковые сопротивления, а сопротивления и взаимообратны, т. е., то входное сопротивление, а операторные сопротивления и связаны с передаточной функцией цепи соотношениями:

(28), (29)

Наша передаточная функция имеет вид (27), то с учетом выражений (28) и (29), полагая что, получим выражения для нормированных сопротивлений и перекрытой Т-образной схемы:

(30), (31)

Схема корректора будет иметь вид, изображенный на рисунке 11.

Рисунок 11 — схема амплитудного корректора

Нормированные параметры элементов схемы вычисляются по формулам:

(31), (32), (33), (34)

Вычислим их:

,

Для вычисления номинальных значений параметров элементов воспользуемся формулами:

(35), (36), (37)

(38)

где

= 1000/М.

= 1000/1 = 1000 Ом.

Вычислим их:

Ом

Ом

Таблица 13

Значение параметров элементов амплитудного корректора.

1. А. Т. Долгалло, Л. А. Жебель и др. Методические указания к Курсовой работе. СПбГУТ — СПб, 1996, 47 стр.

2. А. Ф. Белецкий, Теория линейных электрических цепей. М: Радио и связь. 1986, 544 стр.

3. Д. А. Улахович, Основы линейных электрических цепей, СПб:. БХВ Петербург 2009, 816 стр.

4. А. Д. Артым, А. Ф. Белецкий, Синтез линейных электрических цепей. Л: изд. ЛЭИС, 1981, 80 стр.