Расчет зубчатого механизма редуктора

Задача 3

Передаточное число ступеней механизма должно выбираться в соответствии с характером преобразования движения в механизме. Все ступени должны работать так же, как и механизм в целом, в данном случае на уменьшение частоты вращения и увеличение момента. Ошибка механизма будет наименьшей при минимально возможном числе ступеней. Для получения минимальной ошибки передачи в редукторе нужно располагать передаточное отношение отдельных ступеней механизма по возрастанию от двигателя до входного вала.

Передаточное отношение редуктора определяется по формуле:

Исходя из вышеописанного, составим следующее распределение передаточных отношений по ступеням механизма:

U = 200 = 2*4*5*5

U₁ = 2, U₂ = 4, U₃ = 5, U₄ = 5

Кинетическая схема зубчатого механизма редуктора приведена на Рис. 3.

Рис. 1. Кинематическая схема

Для уменьшения габаритных размеров редуктора принято минимальное число зубьев шестерней. Зная передаточные отношения каждой ступени, рассчитаем число зубьев колес:

z_ш1 = 17z_к1 = z_ш1*U₁ = 17*2 = 34

z_ш2 = 17z_к2 = z_ш2*U₂ = 17*2 = 68

z_ш3 = 17z_к3 = z_ш3*U₃ = 17*2 = 85

Для снижения трения в зацеплении и увеличения срока эксплуатации проектируемого механизма, материалы шестерней и колес редуктора были взяты различные:

Для шестерни: бронза ОФ6−5-0,15, имеющая характеристики:

модуль Юнга: Е = 1,1*10⁷ Н/см²,

допускаемое нормальное напряжение [д] = 11 000 Н/см²,

допускаемое касательное напряжение [ф] = 15 000 Н/см²

Для колеса: СТ5 (цементация), имеющая характеристики:

модуль Юнга: Е = 2,15*10⁷ Н/см²,

допускаемое нормальное напряжение [д] = 11 500 Н/см²,

допускаемое касательное напряжение [ф] = 45 000 Н/см²

Проведем расчет модуля для самой ступени механизма редуктора — конической пары на выходе.

Допускаемое значение модуля на выкрашивание для конического типа передачи рассчитывается по формуле:

К_Е — коэффициент, учитывающий разнородность материалов колеса и шестерни, он рассчитывается по формуле:

ш — относительная толщина колеса, для конических колес высчитывается по формуле:

где д — половина угла конуса при вершине шестерни

Вращающий момент допустимый на колесе вычисляется по формуле:

где К_р — коэффициент режима работы равен 1, так как удары и вибрации отсутствуют, К_д — коэффициент динамичности, зависящий от погрешностей изготовления колеса, равен 1, К_кнц — коэффициент концентрации нагрузки равный 1,2, так как зубчатое колесо расположено симметрично относительно опор.

Допустимое значение на выкршивание равно:

Допустимое значение модуля на изгиб для конического типа передачи рассчитывается по формуле:

где y_э — коэффициент формы зуба (y_э = 0,13 для z = 50.100)

Из двух значений модуля выбираем максимальное m_c = 0,565 мм округляем до значения по ГОСТу m = 0,6 мм в большую сторону.

Проведем расчет модуля для третьей ступени редуктора, самой нагруженной из ступеней с цилиндрической прямозубой передачей. Полученное значение модуля отнесем и к меньше нагруженным первой и второй ступеням редуктора.

Допустимое значение модуля на выкрашивание равно:

где предельный вращающий момент рассчитывается по формуле:

в которой вращающий момент на колесе третьей ступени редуктора М_крз можно вычислить по формуле:

Допустимое значение модуля на изгиб вычисляется по той же формуле, что и для конической передачи, с учетом того, что относительная толщина колеса ш = 8

Из двух значений модуля выбираем максимальное m = 0,486 мм и округляем до значения по ГОСТу m = 0,5 мм в большую сторону.

Имея значения модулей, произведем расчет размеров зубчатых колес.

Диаметр делительной окружности вычисляется по формуле: d = mz

Диаметр выступов вычисляется по формуле: d_a = m (z + 2)

Диаметр впадин рассчитывается по формуле: D_d = m (z — 2,5)

Ширина зуба вычисляется по формуле: b = mш

Проведем расчет для всех зубчатых колес:

Относительная толщина конических зубчатых колес рассчитывается по формуле:

В цилиндрических прямозубых зубчатых колесах при сцеплении возникают два вида сил: распорные, направленные в сторону вращения и окружные, направленные по касательной к окружности, описываемой точкой соприкосновения зубьев В конических зубчатых колесах возникают также и осестремительные силы, направленные по осям вращения.

Рассчитаем силы и моменты для всех кинематических пар редуктора:

IV ступень:

Р_ок4 = 2М/d_к4 = 2*70/4,5 = 33 Н

Р_р4 = Р_ок4tgб = 33*tg20? = 12 Н (б = 20? т.к. форма зуба эвольвента)

Р_ос4 = Р_р4 = 12 Н

III ступень:

М₃ = Р_ок4d_ш4/2 = 33*0,9/2 = 14,8 Н*мм

Р_ок3 = 2 М₃/d_к3 = 2*14,8/4,25 = 6,78 Н

Р_р3 = Р_ок3tgб = 6,78tg20? = 2,47 Н

II ступень:

М₂ = Р_ок3d_ш3/2 = 6,78*0,85/2 = 2,8 Н*мм

Р_ок2 = 2 М₂/d_к2 = 2*2,8/3,4 = 1,36 Н

Р_р2 = Р_ок2tgб = 1,36tg20? = 0,435 Н

I ступень:

М₁ = Р_ок2d_ш2/2 = 1,36*0,85/2 = 0,578 Н*мм

Р_ок1 = 2 М₁/d_к1 = 2*0,578/1,7 = 0,68 Н

Р_р1 = Р_ок1tgб = 0,68tg10? = 0,245 Н

двигатель вал редуктор колесо

Определим диаметр выходного вала, на него приходится наибольшая нагрузка. Диаметр остальных валов примем равным диаметру выходного вала.

Рассчитаем нагрузку, которая оказывается на него:

Значения сил Р_ок4 и Р₄ были рассчитаны в разделе 2.8. Значения длин были взяты из компоновочной схемы (рис.4)

Условно уберем опору В:

Сумма моментов относительно точки, А равна 0:

Условно уберем опору А:

Сумма моментов относительно точки В равна 0:

Проверим верность вычислений. По II закону Ньютона сумма всех сил приложенных к валу равна 0:

Вычисления сил реакций опор выполнены верно

Изгибающий момент на I участке (x = 0.0,7) вычисляется по формуле:

М_и(х) = Р_ок4*х

М_и(х) = Р_р4*х

Изгибающий момент на II участке (x = 0,7.2,1) вычисляется по формуле:

М_и(х) = Р_ок4*0,7 — RA4(x — 0,7)

М_и(х) = Р_р4*0,7 — RA4(x — 0,7)

Максимальный изгибающий момент возникает в точке, А и равен:

М^Н_из = М_max = 0,7Р_ок = 0,7*33 = 23,1 Н*см

М^V_из = М_max = 0,7Р_р4 = 0,7*12 = 8,4 Н*см

Зная горизонтальную и вертикальную составляющие суммарного момента М_У, найдем его по формуле:

Приведенный момент равен:

В качестве материала для вала выберем сталь СТ45 (нормализация), имеющие следующие характеристики:

Е = 2,25*10⁷ Н/см²

[у] = 14 000 Н/см²

[ф] = 17 300 Н/см²

Допустимый диаметр вала рассчитывается по формуле:

Округлим значение диаметра вала в большую сторону до ГОСТа: d = 4,5 мм

Погрешности зубчатых колес бывают двух видов: погрешности мертвого хода и кинематические погрешности. Первые вызваны зазором между зубьями шестерни и колеса при сцеплении, вторые — неточностью формы эвольвенты зуба и диаметров колес.

Погрешность мертвого хода рассчитывается по формуле:

Дц_j = 7,4(F_j [мкм]/d [мкм])

где F_j — допуск на погрешность мертвого хода, d — диаметр колеса.

Погрешность кинематического характера рассчитывается по формуле:

Дцi = 6,88(F_i [мкм]/d [мкм])

где F_j — допуск на кинематическую погрешность, d — диаметр колеса или шестерни.

Рассчитаем погрешность проектируемого редуктора при использовании шестерней и колес класса точности 4.

Погрешности кинематического хода для каждой пары равны:

Дц_j¹ = 7,4(9/17) = 3,92'

Дц_j² = 7,4(9/34) = 1,96'

Дц_j³ = 7,4(9/42,5) = 1,57'

Дц_j⁴ = 7,4(7/45) = 1,15'

Полная погрешность мертвого хода равна:

Дц_j = 0,7(Дц_j⁴ + Дц_j³/U₄ + Дц_j²/U₄*U₃ + Дц_j¹/U₄*U₃*U₂) = 1,11'

Погрешности кинематического хода для каждой пары равны:

Дц_i^ш1 = 6,88(8/8,5) = 6,48'

Дц_i^ш2 = 6,88(8/8,5) = 6,48'

Дц_i^ш3 = 6,88(8/8,5) = 6,48'

Дц_i^ш4 = 6,88(6/9) = 4,59' Дц_i^к1 = 6,88(8/17) = 3,24'

Дц_i^к2 = 6,88(8/34) = 1,62'

Дц_i^к3 = 6,88(8/42,5) = 1,3'

Дц_i^к4 = 6,88(6/45) = 0,92'

Полная кинематическая погрешность равна:

Дц_i = 0,7(Дц_i^к4 + (Дц_i^ш4 + Дц_i^к3)/U₄ + (Дц_i^ш3 + Дц_i^к2)/U₄*U₃ + (Дц_i^ш2 + Дц_i^к1)/U₄*U₃*U₂ + Дц_i^ш1/U₄*U₃*U₂*U₁) = 1,79'

Полная погрешность равна:

Дц = Дц_i Дц_j = 1,79' + 1,11' = 2,9'

Допустимая погрешность Дц = 10'. При использовании колес и шестерней с классом точности 4 получаем избыточную погрешность.

Рассчитаем погрешность редуктора при использовании шестерней и колес класса точности 7.

Погрешности кинематического хода для каждой пары равны:

Дц_j¹ = 7,4(20/17) = 8,71'

Дц_j² = 7,4(24/34) = 5,22'

Дц_j³ = 7,4(24/42,5) = 4,18'

Дц_j⁴ = 7,4(30/45) = 4,93'

Полная погрешность мертвого хода равна:

Дц_j = 0,7(Дц_j⁴ + Дц_j³/U₄ + Дц_j²/U₄*U₃ + Дц_j¹/U₄*U₃*U₂) = 4,24'

Погрешности кинематического хода для каждой пары равны:

Дц_i^ш1 = 6,88(18/8,5) = 14,6'

Дц_i^ш2 = 6,88(18/8,5) = 14,6'

Дц_i^ш3 = 6,88(18/8,5) = 14,6'

Дц_i^ш4 = 6,88(18/9) = 4,59'

Дц_i^к1 = 6,88(22/17) = 8,9'

Дц_i^к2 = 6,88(22/34) = 4,45'

Дц_i^к3 = 6,88(22/42,5) = 3,56'

Дц_i^к4 = 6,88(20/45) = 3,06'

Полная кинематическая погрешность равна:

Дц_i = 0,7(Дц_i^к4 + (Дц_i^ш4 + Дц_i^к3)/U₄ + (Дц_i^ш3 + Дц_i^к2)/U₄*U₃ + (Дц_i^ш2 + Дц_i^к1)/U₄*U₃*U₂ + Дц_i^ш1/U₄*U₃*U₂*U₁) = 5,32'

Полная погрешность равна:

Дц = Дц_i Дц_j = 1,79' + 1,11' = 9,56'

Полученное значение удовлетворяет допустимой погрешности Дц = 10'. При расчете редуктора были использованы колеса и шестерни класса точности 7.

Задача 5

Кинематические пары механизма:

O (0−1); A (1−2); B (2−3);B (3−4); C (0−3); E (4−5);К (0−5) — вращательные пары 5 класса;

Число всех звеньев механизма:

m = 6.

Число подвижных звеньев механизма:

n = 5.

Число степеней свободы механизма:

W = 3n — 2P₅ — P₄= 35 — 27 — 0 = 1,

гдеP₅ — число пар 5-го класса (низшие пары);

P₄ — число пар 4-го класса (высшие пары).

Разложим механизм на группы Ассура

Рассмотрим группу (4−5)

К (0−5) — возможная пара;

Е (4−5) — действительная пара;

В (3−4) — возможная пара.

W_гр = 3n — 2P₅ = 32 — 23 = 0,

где W_гр — степень свободы группы;

n — число подвижных звеньев группы;

Р₅ — число пар 5-го класса, входящих в группу.

Формула группы:

Рассмотрим группу (2−3)

n = 2

А (1−2) — возможная пара;

В (2−3) — действительная пара;

В (3−4) — возможная пара.

W_гр = 3n — 2P₅ = 32 — 23 = 0,

Формула группы:

Рассмотрим начальный механизм

n = 1;

W = 3n — 2P₅ — P₄;

O (0−1) — действительная пара

W = 31 — 21 = 1.

Формула механизма Структурная формула механизма:

Механизм II класса 1 вида.

Планы положений механизма строятся методом засечек. Для определения длин звеньев в миллиметрах, задается масштабный коэффициент. Принимаем OA = 25 мм.

где — масштабный коэффициент длины, ;

l_OA — длина звена OA, мм;

OA — длина звена OA на плане положений, мм.

Определение длин звеньев:

где AB, BD, BC, BE, EK, EF — длины звеньев на плане скоростей, мм;

— длины соответствующих звеньев механизма, м.

Зададим первое положение точки A с таким расчетом, чтобы точка D заняла крайнее верхнее положение. При этом шатун АВ и кривошип ОА находятся на одной прямой.

Крайнее верхнее положение точки D:

OA+AB = 32,5+130= 162,5 мм.

Определяем угловую скорость кривошипа:

где₁ — угловая скорость кривошипа, ;

n₁ — частота вращения кривошипа, мин^-1.

Планы скоростей строим повернутыми на 90^о графо-аналитическим методом, решая системы векторных уравнений.

Определяем скорость точки, А механизма:

V_A = щ₁l_AO = 3,660,325 = 1,19 м/с,

гдеV_A — скорость точки А, м/с;

l_AO — длина звена АО, м.

где_V — масштабный коэффициент плана скоростей, ;

pa — вектор скорости точки А, мм.

pa принимаем равным 60 мм.

Найдем скорость точки B.

Точка B принадлежит звеньям 2 и 3. Её положение на плане скоростей определяется как точка пересечения линий действия соответствующих векторов скоростей.

Так как точка С неподвижна, то:

Определим скорость точки Е, принадлежащей звеньям 4 и 5:

Точка К является неподвижной опорой:

Скорость точки F определяем исходя из пропорциональных соотношений длин звеньев с соблюдением обхода точек.

где fe — искомый отрезок, мм

BE, EF — длины соответствующих звеньев на чертеже, мм

be — снимается с плана скоростей (be =57,9 мм);

Аналогично определяем скорость точки D:

Определение значений скоростей, точек и звеньев механизма

гдеV — линейная скорость точки или звена, м/с;

— вектор скорости точки, или звена.

V_B = pb м_V = 66,6 0,0198 = 1,32 м/с;

V_E = pe м_V = 59,3 0,0198 = 1,17 м/с;

V_D = pd м_V = 96,2 0,0198 = 1,9 м/с;

V_F = pf м_V = 117,7 0,0198 = 2,33 м/с;

V_AB = ab м_V = 45,7 0,0198 = 0,9 м/с;

V_DF = df м_V = 182,4 0,0198 = 3,61 м/с.

Угловые скорости звеньев определяются по формуле:

где — угловая скорость звена, с^-1;

V — скорость звена, м/с;

l — длина звена, м.

Расчет угловых скоростей точек для 12 положений механизма сводим в таблицу.

ТаблицаУгловые скорости звеньев, c^-1.

Массы звеньев 1, 2, 3, 5 не заданы, поэтому их силы тяжести не учитываем. Приведенный момент M_п представим в виде пары сил P_п с плечом AB. Приведение произведем с помощью «Рычага Жуковского». Одна из составляющих пары сил P_п не будут иметь момента относительно полюса плана скоростей, поэтому ее не показываем. Величину и направление P_п определим из равенства — по величине и направлению — момента силы P_п сумме моментов сил G_Ш и G_F относительно полюса.

Для положения 1:

где pa, , — плечи сил (снимаются с планов скоростей), мм;

P_пр — приведенная сила, Н;

Для положения 2:

Для положения 3:

Для положения 4:

Для положения 5:

Для положения 6:

Для положения 7:

Для положения 8:

Для положения 9:

Для положения 10:

Для положения 11:

Для положения 12:

Приведенный момент будем определять по формуле:

где М_с — приведенный момент сил сопротивления, Нм.

Для расчетного положения:

Таблица — Приведенная сила и момент сопротивления

Масштабный коэффициент графика М_С— по оси угла поворота:

где — масштабный коэффициент по оси угла поворота, рад/мм;

L₁₋₁ — длина одного оборота кривошипа, мм

2р — полный оборот (принимаем L₁₋₁=180 мм).

Масштабный коэффициент графика М_С— по оси моментов:

где _М — масштабный коэффициент графика М_С— по оси моментов, Нм / мм;

— значение максимального момента сопротивления, Нм;

— значение максимального момента сопротивления на графике, мм (принимаем).

Строим график моментов.

Значение момента на графике:

ТаблицаМоменты сил сопротивления

График работ сил сопротивления строим графическим интегрированием графика М_с — .

Масштабный коэффициент:

где _А — масштабный коэффициент графика А_С-, ;

(H-1) — расстояние от полюса до начала координат, мм;

Принимаем (H-1)=100 мм.

График работы сил сопротивления получаем, соединив конец и начало кривой А_с —. Продифференцировав ее, получаем график движущего момента .

Движущий момент:

гдеМ_дв — движущий момент, Нм;

1-m — величина отрезка, снимаемая с графика, мм.

График изменения кинетической энергии строим в масштабе:

где _Т — масштабный коэффициент графика Т-,;

Изменение кинетической энергии определяется по формуле:

где Т — изменение кинетической энергии, Дж;

А_дв — работа движущих сил, Дж;

А_с — работа сил сопротивления, Дж.

Приведенный момент инерции:

I_ПР = I_ПР^I + I_ПР^II ,;

I_ПР^I = I_ДВ + I_{1 ,} ;

I_ПР^II = I_S4+ m_4, ;

где I_ДВ — момент инерции электродвигателя, кг? м²;

I₁ — момент инерции кривошипа, кг? м²;

I_S4 — момент инерции звена 4, кг? м²;

Для расчетного положения 11:

где — скорость центра масс звена 4, м/с. (из плана скоростей) Расчет приведенного момента инерции для 12 положений сводим в таблицу

Таблица — Приведенные моменты инерции,

Примечание: при расчете момента инерции 4-го звена с 8 по 12 положение учитываем массу поднимаемой жидкости.

Строим график приведенного момента инерции с учетом масштабных коэффициентов:

где — масштабный коэффициент по оси приведенных моментов инерции, ;

— значение максимального приведенного момента инерции, ;

— значение вектора на графике, мм:

— масштабный коэффициент по оси, ;

— длина одного оборота кривошипа, мм.

Векторы приведенного момента инерции для 12 положений механизма сводим в таблицу

Таблица — Векторы приведенного момента инерции, мм

Строим диаграмму энергия-масса на основе графика приведенного момента инерции и графика изменения кинетической энергии, графически исключая ось .

К полученной кривой энергия-масса под углами и проводим касательные.

;

;

где _{max, min} — углы наклона касательных проведенных к петле Виттенбауэра, град;

— коэффициент неравномерности вращения кривошипа ;

Получаем отрезок ab:

ab = 39,4 мм.

Приведенный момент инерции маховика:

.