1. Вариант задания представлен в таблице 1:
i 0 1 2 3 4 5
xi 11 13 15 17 19 21
yi 1.12 1.506 0.526 -0.82 -1.66 -1.87
Запишем параметры линейной аппроксимации
x ̅ = (∑_(i=0)^n▒x_i)/(n+1) = 96/6 = 16
Искомая линейная аппроксимирующая функция
F1(x) = 5.696 105 0.3 684 857 x
Составим и решим систему нормальных уравнений для определения параметров многочлена второй степени F2(x) = an+a1x+a2x2
Система нормальных уравнений:
{█(6a0+ 96a1+ 1606 a2= -1.198 @96a0+ 1606a1+ 27936a2= -44.962 @1606a0+ 27936a1+ 50 2150a2= -1152.526)┤
Решение систему нормальных уравнений:
a2 = -1,80 304*10−2 a1 = -0,227 886 a0 = 3,56 565
Искомая аппроксимирующая функция:
F2(x) = -1,80 304*10−2×2 -0,227 886 x +3,56 565
2. Решение уравнения F2(x)=0 c точностью Е = 10−5.
Для определения корней уравнения F2(x) = -1,80 304*10−2×2 -0,227 886 x +3,56 565 составим таблицу знаков функции F2(x).
На отрезках [-19; -15] и [13; 17] функция F2(x) меняет знаки, т. е. существует, по крайней ере, по одному корню. Убедимся, что эти корни единственны на каждом из отрезков.
3. Интеграл ∫_(x1)^(x2)▒〖F2 (dx)〗 вычислияем, полагая n=10 и n=20 методами Симпсона, трапеций и средних прямоугольников.
Оценка погрешности вычисляется по правилу Рунге: R = (|I_hI_(h/2|))/(2^k- 1)
Для методов средних прямоугольников и трапеций k=2, Rср. п = 0,
Rтрап = 6,6667*10−6
Для метода Симпсона k=4, Rс = 0.
4. Для нахождения точки экстремума применим методы дихотомии и золотого сечения, причет для нахождения максимума следует ввести новую функцию ƒ(x) = -F2(x). Проверка унимодальности необходима для использования указанных методов оптимизации.
ƒ(x) = -F2(x) = 1,80 304*10−2×2 +0,227 886 x -3,56 565
ƒ˝(x) = 0.2 160 608 > 0, следовательно, ƒ(x) унимодальная. Начальный отрезок [-3;3], Е = 10−3.
а) метод дихотомии:
ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ
DECLARE SUB ITER (a0!, a1!, a2!)
DECLARE SUB NYUT (a0!, a1!, a2!)
DECLARE SUB INTEG (a0!, a1!, a2!)
PRINT «Funkciya y = y (x) zadana tablicie»
PRINT «******************»
PRINT «| i | x | y |»
PRINT «******************»
'Naxogdenie lineinoi approksimiruyusheu funkcii
Sx = 0
Sy = 0
Sxy = 0
Sx2 = 0
FOR i = 0 TO n
Sx = Sx + x (i)
Sy = Sy + y (i)
Sxy = Sxy + x (i) * y (i)
Sx2 = Sx2 + x (i) ^ 2
.
' Naxogdenie kvadratichnoi approksimiruyushei funkcii
a11 = 0
b1 = 0
a12 = 0
b2 = 0
a13 = 0
b3 = 0
a23 = 0
a33 = n + 1
FOR i = 0 TO n
a11 = a11 + x (i) ^ 4
a12 = a12 + x (i) ^ 3
.
SUB DIHOTOM (a0 AS SINGLE, a1 AS SINGLE, a2 AS SINGLE)
a0 = -a0
a1 = -a1
a2 = -a2
CLS
PRINT «*************************** METOD DIHOTOMII *******************************»
PRINT «Vvedite otrezok neopredelennosti [a, b]»
INPUT «a — «, a
INPUT «b — «, b
INPUT «Tochnost vichisleniya:»; E
INPUT «Paramet metoda:»; d
.
SUB INTEG (a0 AS SINGLE, a1 AS SINGLE, a2 AS SINGLE)
CLS
INPUT «Nijnyaya granica integrala:»; a
INPUT «Verhnyaya granica integrala:»; b
INPUT «Tochnost vichisleniya:»; E
INPUT «Kollichestvo intervalov:»; n1
.
'formila trapecii
n = 1
h = (b — a)
st = (h / 2) * ((a2 * a ^ 2 + a1 * a + a0) + (a2 * b ^ 2 + a1 * b + a0))
DO
n = 2 * n
h = (b — a) / n
s1 = st
st = ((a2 * a ^ 2 + a1 * a + a0) + (a2 * b ^ 2 + a1
.
PRINT «Tochka maksimuma: x=»; xz; «f=»; fz
PRINT
INPUT «Najmite ENTER», z
END SUB
