Реляционная алгебра операции над отношениями

Алгеброй называется множество объектов с заданной на нем совокупностью операции, замкнутых относительно этого множества, называемого основным множеством. Основным множеством в реляционном алгебре является множество отношений. Всего Э. Ф. Коддом было предложено 8 операций (объединение, разность (вычитание), пересечение, декартово (прямое) произведение, выборка (селекция, ограничение), проекция, деление, соединение). В общем это множество избыточное, так как одни операции могут быть представлены через другие, однако множество операций выбрано из соображений максимального удобства при реализации произвольных запросов к БД. Все множество операций можно разделить на две группы: теоретико-множественные операции и специальные операции. В первую группу входят 4 операции. Три первые теоретико-множественные операции являются бинарными, то есть в них участвуют два отношения и они требуют эквивалентных схем исходных отношений.

Теоретико-множественные операции:

• 1. Объединением двух отношении называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих либо первому, либо второму исходным отношениям, либо обоим отношениям одновременно.
• 2. Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям.
• 3. Разностью отношений R1 и R2 называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R1 и не принадлежащих R2

Специальные операции:

• 1. горизонтальный выбор, или операция фильтрации, или операция ограничения отношений. Для определения этой операции нам необходимо ввести дополнительные обозначения. Пусть, а — булевское выражение, составленное из термов сравнения с помощью связок И, ИЛИ, НЕ и, возможно, скобок. В качестве термов сравнения допускаются: а) терм, А ос а, где, А — имя некоторого атрибута, принимающего значения из домена D; а — константа, взятая из того же домена D, a D; ос — одна из допустимых для данного домена D операций сравнения; б) терм, А ос В, где А, В — имена некоторых Q-сравнимых атрибутов, то есть атрибутов, принимающих значения из одного и то же домена D. Тогда результатом операции выбора, или фильтрации, заданной на отношении R в виде булевского выражения, определенного на атрибутах отношения R, называется отношение R[G], включающее те кортежи из исходного отношения, для которых истинно условие выбора или фильтрации.
• 2. Проекцией отношения R на набор атрибутов В, обозначаемой R[B], называется отношение со схемой, соответствующей набору атрибутов В SR|B| = В, содержащему кортежи, получаемые из кортежей исходного отношения R путем удаления из них значений, не принадлежащих атрибутам из набора В. По определению отношений все дублирующие кортежи удаляются из результирующего отношения. Операция проектирования, называемая иногда также операцией вертикального выбора, позволяет получить только требуемые характеристики моделируемого объекта. Чаще всего операция проектирования употребляется как промежуточный шаг в операциях горизонтального выбора, или фильтрации. Кроме того, она используется самостоятельно на заключительном этапе получения ответа на запрос.
• 3. Операция условного соединения. В отличие от рассмотренных специальных операций реляционной алгебры: фильтрации и проектирования, которые являются унарными, то есть производятся над одним отношением, операция условного соединения является бинарной, то есть исходными для нее являются два отношения, а результатом — одно. Пусть R = {r}, Q = { q } — исходные отношения, SR, SQ — схемы отношений R и Q соответственно. SR = (А1, А2, …, Ak): SQ = (В1 В2, …, Bm), где А, В — имена атрибутов в схемах отношений R и Q соответственно. При этом полагаем, что заданы наборы атрибутов, А и В. А {Аi}, j=1,k; В {Bj} j=1,m, и эти наборы состоят из Q-сравнимых атрибутов. Тогда соединением отношений R и Q при условии р будет подмножество декартова произведения отношений R и Q, кортежи которого удовлетворяют условию р, рассматриваемому как одновременное выполнение условий: r. Aj Qj Вi,: i=l, k, где k — число атрибутов, входящих в наборы, А и В, а Qj— конкретная операция сравнения. Aj Qj Вi Di Qi — i-й предикат сравнения, определяемый из множества допустимых на домене Di операций сравнения. R [ Р ] Q = { r. q) | (г. q) | r. A Qj q. Bj — «Истина», i=l, k}
• 4. Последней операцией, включаемой в набор операций реляционной алгебры, является операция деления. Для определения операции деления рассмотрим сначала понятие множества образов. Пусть R — отношение со схемой SR = (A1, A2 ,…, Ak); Пусть, А — некоторый набор атрибутов, А {Аi} i=l, k, А1 — набор атрибутов, не входящих в множество А. Пересечение множеств, А и А1 пусто: А А1 = 0; объединение множеств равно множеству всех атрибутов исходного отношения: A А1 = SR. Тогда множеством образов элемента у проекции R[А] называется множество таких элементов у проекции R[A1], для которых сцепление (х, у) является кортежами отношения R, то есть QA (x) = {у | у R[A1] ^ (х, у) R} - множество образов. Дадим теперь определение операции деления. Пусть даны два отношения R и Т соответственно со схемами: SR = (А1, А2, …, Ak); ST =-(В1, В2, …, Вm); А и В — наборы атрибутов этих отношений, одинаковой длины (без повторений); А SR; В ST. Атрибуты А1 — это атрибуты из R, не вошедшие в множество А. Пересечение множеств, А А1 = — пусто и A А1 = SR. Проекции R[A] и Т[В] совместимы по объединению, то есть имеют эквивалентные схемы: SR|A|~ ST[B|. Тогда операция деления ставит в соответствие отношениям R и Т отношение Q = R[A:B]T, кортежи которого являются теми элементами проекции R[A1], для которых Т[В] входит в построенные для них множество образов: R[A:B]T = {r | r R[A1] ^ Т[В] (у | у R [А] ^ (r, у) R } }. Операция деления удобна тогда, когда требуется сравнить некоторое множество характеристик отдельных атрибутов.