Уравнение бернулли для потока жидкости. 
Геометрическое и энергетическое толкование уравнения бернулли

Уравнение Бернулли для потока жидкости. Рассмотрим поток жидкости с плавно изменяющимся движением (рис. 1.21). Выберем два произвольных сечения I-I и II-II, нормальных к оси потока, и рассмотрим заключенный между ними участок потока. Обозначим средние скорости потока в этих сечениях х1 и х2; площади живых сечений щ1 и щ2; гидродинамические давления в центре тяжести этих сечений р1 и р2, расстояния от произвольно выбранной горизонтальной плоскости OO, называемой плоскостью сравнения, до центров тяжести сечений z1 и z2. Применим к участку потока, заключенному между сечениями I-I и II-II, закон сохранения энергии. За время? t частицы из сечения I-I перейдут в положение I' - I.

Потенциальная энергия положения этого объема равна:

(63).

Рис. 17 Схема к выводу уравнения Бернулли

а кинетическая энергия этого же объема.

(64).

Рассматриваемый объем обладает также потенциальной энерги-¹ ей давления. Представим, что в сечении I-I имеется поршень, движущийся со скоростью 1>1 в направлении сечения II-II. Этот поршень за время ?t пройдет путь х₁?t. Сила давления на этот поршень равна. Следовательно, произведенная поршнем работа будет равна:

(65).

Совершенно очевидно, что выражение (65) будет представлять собой потенциальную энергию давления рассматриваемого объема.

Тогда общее количество энергии, внесенной потоком в рассматриваемый участок за время ?t через сечение I-I, будет равно:

Аналогично можно получить суммарную энергию, вынесенную потоком через сечение II-II за время ?t:

.

По закону сохранения энергии суммарная энергия, внесенная через сечение I-I, при установившемся движении должна быть равна суммарной энергии, вынесенной через сечение II-II, с учетом затрат энергии на преодоление гидравлических сопротивлений при движении жидкости от сечения I-I к сечению II-II. Затраченную энергию можно выразить в виде произведения веса рассматриваемого объема на некоторую высоту (потери высоты):

(66).

Тогда:

.

Так как, согласно уравнению постоянства расхода, Q₁=Q₂=Q и, кроме того,, можем написать:

Или, заменяя сg на г:

(67).

Отнесем все члены уравнения (67) к единице веса, для чего разделим их на гQ. Тогда.

(68).

или в общем виде:

(69).

Следовательно, для всех сечений потока можно записать:

(70).

где z — расстояние от плоскости сравнения до центра тяжести сечения; р — давление в центре тяжести в этом сечении; х — средняя скорость в этом сечении; h_пот — удельная энергия, затраченная на преодоление сопротивлений от начального до рассматриваемого сечения.

Удельная механическая энергия потока в любом его сечении равна:

Уравнение (70) носит наименование уравнения Бернулли. В приведенном выводе этого уравнения скорости движения отдельных частиц жидкости в пределах живого сечения приняты одинаковыми и равными средней скорости. Если учитывать неравномерность распределения скоростей по живому сечению, то уравнение (70) получает следующий вид:

(71).

Рис. 18 Схема, поясняющая понятие скоростного напора

Коэффициент учитывает влияние неравномерности распределения скоростей по сечению на удельную кинетическую энергию потока, вычисленную по средней скорости (см. § 20 и 21). Коэффициент называют коррективом кинетической энергии или коэффициентом Кориолиса.

Сумма первых двух членов уравнения (71) -пьезометрический напор, по аналогии — скоростной напор, а h_пот — потерянный напор. Сумму первых трех членов уравнения Бернулли называют полным напором.

Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли. Все члены уравнения Бернулли выражаются в единицах длины, поэтому каждый из них может называться высотой:

z — геометрическая высота, или высота положения;

р/г — пьезометрическая высота, или высота гидродинамического давления;

— высота, соответствующая скоростному напору;

h_пот— высота, соответствующая потерям напора.

Следовательно, геометрический смысл уравнения Бернулли может быть сформулирован так: при установившемся движении жидкости сумма четырех высот (высоты положения, пьезометрической высоты, высоты, соответствующей скоростному напору, и высоты, соответствующей потерям напора) остается неизменной вдоль потока. Кроме того, каждый из членов уравнения Бернулли выражает удельную энергию потока, т. е. энергию, приходящуюся на единицу веса движущейся жидкости:

z — удельная энергия положения;

р/г — удельная энергия гидродинамического давления;

— удельная кинетическая энергия;

h_пот — потери удельной энергии.

Тогда энергетический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать следующим образом: при установившемся движении жидкости сумма четырех удельных энергий (энергии положения, энергии гидродинамического давления, кинетической энергии и потерь энергии) остается неизменной вдоль потока.

Если в каком-либо сечении потока жидкости (рис. 18) установить две трубки — пьезометрическую 1 и скоростную 2, нижний изогнутый конец которой направлен против течения, то в скоростной трубке создается дополнительное давление от воздействия скорости движущейся жидкости. Высота подъема жидкости в скоростной трубке больше высоты подъема жидкости в пьезометрической трубке на скоростной напор .

Все члены уравнения Бернулли представлены графически на рис. 19 Здесь в четырех выбранных сечениях потока SS установлены пьезометрические и скоростные трубки.

Если соединить уровни жидкости в пьезометрах, то получим пьезометрическую линию, или линию потенциальной удельной энергии. Она находится на расстоянии z + р/г от плоскости сравнения.

Рис. 19 Графическое изображение членов уравнения Бернулли

1 — напорная линия, или линия суммарной удельной энергии; 2 — пьезометрическая линия или линия потенциальной удельной энергии; 3 — линия плоскости сравнения Падение этой линии на единицу длины называется пьезометрическим уклоном J.

Соединяя уровни жидкости в скоростных трубках, получим напорную линию или линию, суммарной (потенциальной и кинетической) удельной энергии. Падение напорной линии на единицу длины называется гидравлическим уклоном i и характеризует потери напора на единицу длины. Из рис. 19 видно, что с удалением от начального сечения I потери напора возрастают.