Расчет линейной электрической цепи при гармоническом воздействии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Радиотехнический факультет Кафедра радиотехники КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине: «Общая электротехника и электроника»

Расчет линейной электрической цепи при гармоническом воздействии

1. Техническое задание на курсовую работу со схемами

2. Выбор варианта схемы

3. Расчет простой электрической цепи

4. Составление системы уравнений для расчета токов и напряжений

5. Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом Крамера

6. Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы

7. Определение выражения для комплексного коэффициента передачи

8. Построение графиков АЧХ и ФЧХ с определением их характеристик Список литературы Приложение электрический цепь ток напряжение

1. Техническое задание на курсовую работу со схемами

1. Каждому студенту в соответствии со своим порядковым номером по журналу выбрать вариант схему (Рис.1). Различные конфигурации схемы образуются с зависимости от положения ключей «K1″ -» K5″, которые устанавливаются по номеру варианта, представленному в двоичном коде. Номера позиций единиц и нулей в номере варианта читаются слева направо.

2. Определить величины элементов схемы (Рис.1) и частоту генераторов с помощью следующих формул:

[Ом]

[Пф]

[В]

[кГц]

где N — порядковый номер студента, n — номер элемента в схеме.

3. В схеме, полученной в п. 1.1 исключить (замкнуть) все источники, кроме E1, и рассчитать, используя простые преобразования цепей, ток в цепи источника E1. По результатам расчета построить векторную диаграмму.

Рис. 1 — Схема электрической цепи для выбора варианта

4. Используя схему п. 1.1, рассчитать токи и напряжения на ее элементах, используя формулы Крамера, а так же обращение матриц. Осуществить проверку.

5. Для схемы из п. 1.3 найти выражение для комплексного коэффициента передачи электрической цепи.

6. Используя формулу для комплексного коэффициента передачи электрической цепи, определить выражение для АЧХ и ФЧХ цепи.

7. Построить, используя выражения из п. 1.6, графики для АЧХ и ФЧХ цепи.

8. Определить граничные частоты полосы пропускания и коэффициент прямоугольности цепи, используя результаты из п. 1.7.

9. Дать характеристику исследуемой цепи по п. 1.3 с точки зрения фильтрации электрических колебаний.

2. Выбор варианта схемы Для выбора схемы необходимо представить номер варианта в двоичной форме: вариант № 12 в двоичной форме — 1 100.

Далее устанавливаем переключатели К1-К5 (Рис.2) в положение, соответствующее номеру варианта в двоичной форме.

Рис. 2 — Схема цепи для варианта № 12

Зарисуем получившуюся схему без переключателей и отсоединенных элементов.

Рис. 3 — Схема цепи для варианта № 12

Определение значений сопротивления, емкости и источников напряжения:

R:=100•(4+0.2•12)=640

C:=100•(5+0.2•12)=740

Л_1,3,5 = 2· [7+(-1)^{1 + 12}· 0,2·12] · e (-1) ^{1+12 j(25+0,2· 12)} =9,2· e^j(-27,4)=8.17-j4.23 [В]

Л_2,4 = 2[7+(-1)²⁺¹²· 0,2·12] · e (-1) ^{2+12 j(25+0,2· 12)}=38.4·e^j(27.4)=34.09+j17.67 [В]

Определение частоты генератора

f = 10· [7+1· 0,2·12] = 192 [кГц]

Все генераторы имеют одинаковую частоту, но значения напряжений, и значения начальной фазы на каждом из источников напряжения разные.

3. Расчет простой электрической цепи

Необходимо определить ток в цепи источника E₁, когда все остальные источники закорочены. Для этого воспользуемся формулами для последовательного и параллельного соединения нескольких элементов и вычислим эквивалентное комплексное сопротивление Z_э.

Рис. 4 — Схема простой цепи

Выполним расчет цепи методом эквивалентного преобразования. Для удобства расчета представим элементы схемы в комплексной форме. Выполним эквивалентное преобразование цепи (Рис.4)

Рис. 5 — Схема с эквивалентным сопротивлением

Определим комплексные значения тока, напряжения на R и Zc в среде Mathcad:

— комплексное сопротивление конденсатора

Определим значение сопротивления Zэкв:

Определим ток I:

Зная ток, посчитаем Ur и Uz:

Строим векторную диаграмму. Для найденных напряжений строятся вектора с соответствующим модулем и фазой. На векторной диаграмме указывается выбранный масштаб для напряжений, а вектор тока указан без масштаба.

Рис. 6 — Векторная диаграмма

По полученной векторной диаграмме видно, что найденные значения напряжений на резисторе R и на эквивалентном комплексном сопротивлении цепи Z вычислены верно. Так же верно вычислены и начальные фазы напряжений на этих элементах. Проверка всех полученных значений тока и напряжений осуществляется с помощью моделирования в программе «Electronics Workbench». (Смотреть приложение)

Все вычисленные мной значения совпадают со смоделированными значениями в программе «Electronic Workbench». Расхождение между вычисленными и смоделированными значениями не более 0,1%

4. Составление системы уравнений для расчета токов и напряжений

Для расчета токов и напряжений в сложной электрической цепи составим систему уравнений по методу контурных токов.

Рис. 7 — Схема сложной цепи

Сначала составим граф электрической схемы, согласно которому выберем независимые контуры, а так же зададим контурные токи.

Рис. 8- Граф цепи

Независимыми контурами будут: 12 781; 23 672; 34 563

Для этих контуров составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа с учетом совместного влияния одного контура на другой. Направления обхода во всех контурах необходимо выбрать одинаковыми (по часовой стрелке). Знак падения напряжения в основном контуре от токов соседних контуров выбирается плюс, если их направление совпадает с основным контурным током, и минус в случае несовпадения.

Полученную систему уравнений будем использовать далее, для расчетов значений токов и напряжений в электрической цепи методом Крамера и методом обращения матрицы.

5. Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом Крамера

По составленной системе уравнений составим матрицу сопротивлений Д т. е. впишем соответствующие коэффициенты при контурных токах I₁, I₂, I₃.

Токи в контурах определим по формуле Крамера: (n=1, 2, 3) ,

где ?- полный определитель матрицы сопротивлений, а ?_n-определитель, полученный из? при замене его элементов n-го столбца соответствующими правыми частями уравнений.

Контурные токи будут равны:

Посчитаем токи на ветвях цепи:

Проверка полученных данных осуществляется с помощью моделирования в программе «Electronic Workbenc». (Смотреть приложение)

Анализируя вычисленные и смоделированные значения токов на элементах электрической цепи приходим к выводу, что все полученные значения определены верно.

6. Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы

Воспользуемся системой уравнений, составленной ранее:

Для нахождения токов I1, I2, I3 решим систему уравнений методом обращения матрицы.

где Zn — обратная матрица комплексных сопротивлений.

— матрица комплексных сопротивлений

— обратная матрица комплексных сопротивлений

Контурные токи будут равны:

Найдём токи на ветвях цепи:

Полученные значения методом Крамера в точности совпадают со значениями полученными методом обращения матрицы. Что говорит о правильности вычислений.

7. Определение выражения для комплексного коэффициента передачи

Комплексный коэффициент передачи находится по формуле:

при этом в схеме считать значение R = 1000 Ом, а C = 1нФ.

Рис. 9 — Схема простой электрической цепи для расчета комплексного коэффициента передачи

Выражаем I1 из уравнения (1), подставляем I1 в уравнение (2) и выражаем I2, подставляем I2 в уравнение (3) выражаем ток I3:

Преобразуем формулу I3 для построения графиков АЧХ и ФЧХ:

— зависимость сопротивления конденсатора от изменения частоты

— выражение для определения комплексного коэффициента передачи.

Проверка правильности вывода формулы для комплексного коэффициента передачи осуществляется с помощью программы «Mathcad» в режиме символьного решения системы уравнений.

Из имеющейся системы уравнений, составленной по второму закону Кирхгофа, составим матрицу сопротивлений.

Обратим матрицу в символьном режиме

Выпишем коэффициент В31 (он и будет являться током I3):

— выражение для определения комплексного коэффициента передачи.

Выражение для определения комплексного коэффициента передачи полученное с помощью собственных вычислений и программы «Mathcad» абсолютно идентичны, что говорит о правильности вывода формулы.

8. Построение графиков АЧХ и ФЧХ с определением их характеристик

Для того чтобы построить график АЧХ необходимо вычислить модуль комплексного коэффициента передачи. Расчёты проводим в программе «Mathcad» .

Далее строим графики АЧХ и ФЧХ:

Для графика АЧХ берём модуль K (f)

Рис.10-График АЧХ цепи в среде «Mathcad»

Цепь представляет собой полосовой фильтр.

Из полученного графика АЧХ определяем граничные частоты (уровень 0,707) и коэффициент прямоугольности (нижний уровень 0,1)

П0,707 = 141 442 — 0 = 141 442Гц

П0,1 = 2 495 000 — 0 = 2 495 000Гц

Кп = П0707/П01 = 0,056

Для построения графика ФЧХ необходимо вычислить аргумент комплексного коэффициента передачи. Для этого также воспользуемся соответствующими операциями из программы MathCAD:

Рис.11-График ФЧХ цепи в среде «Mathcad»

1 Дьяконов В. Mathcad 8/2000:специальный справочник СПб, Питер 2001.-529с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Моделирование простой электрической цепи в программе «Electronic Workbenc 5.12»

Моделирование сложной электрической цепи в программе «Electronic Workbenc 5.12»

АЧХ и ФЧХ при моделировании цепи с помощью программы «Electronic Workbenc 5.12»