Фрактальная геометрия. 
Синергетика

Переход к хаосу может быть представлен в виде диаграммы бифуркаций. Простой путь перехода к хаосу как каскад бифуркаций — последовательность Фейгенбаума, или сценарий удвоения периода. М. Фейгенбаум выявил закономерность, определяющую поведение разнообразных нелинейных систем с последовательными бифуркациями удвоения периода: до определенного порога значений параметров система имеет периодический режим с периодом T, который удваивается при переходе через порог (период становится равным 2 T), затем при переходе через следующий порог снова удваивается, становится равным 4 T, и т. д. Последовательность Фейгенбаума — один из типичных сценариев перехода от порядка к хаосу, от простого периодического режима к сложному апериодическому при бесконечном удвоении периода. Последовательность Фейгенбаума имеет самоподобную, фрактальную структуру — увеличение какой-либо области выявляет подобие выделенного участка всей структуре Итак, переходим к фрактальной геометрии — геометрии динамического хаоса. Нелинейная динамика и фрактальная геометрия тесно связаны, однако эти разделы науки развивались порознь, и их связь и тем более единство еще не полностью установлены.

Термин «фрактал» (от лат. fractare — ломать, дробить; fractus — расчлененный, разбитый; англ. fractal — дробный) ввел Бенуа Мандельброт, он же Б. Мандельбро (Benoit Mandelbrot), родившийся в Варшаве (в 1924 г.), работавший во Франции и США.

Согласно определению Б. Мандельброта, фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности. Проще говоря, фрактал — множество, размерность которого отличается от обычной размерности, называемой топологической. Б. Мандельброт дает и другое определение: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Строгого и исчерпывающего определения фракталов пока не существует.

Фрактальная структура образуется путем бесконечного повторения (итерации) какой-либо исходной формы во все уменьшающемся (или увеличивающемся) масштабе по определенному алгоритму, т. е. в соответствии с определенной математической процедурой. Этот несложный процесс с обратной связью дает поразительно многообразный морфогенез, нередко подобный созданию природных форм. Таким образом, фракталы характеризуются самоподобием, или масштабной инвариантностью, т. е. единообразием в широком диапазоне масштабов.

Традиционные геометрические объекты имеют целочисленную размерность: линия одномерна, плоская поверхность двумерна, поверхность сферы трехмерна. Фрактальные объекты характеризуются фрактальной, дробной размерностью. Такая размерность была введена Ф. Хаусдорфом. Если гладкая эвклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, то фрактальная линия выходит за его пределы, частично заполняя двумерное, ее размерность — дробная, промежуточная между исходной размерностью линии и двумерного пространства, в котором идет морфогенез фрактала. Например, фрактальная линия берега имеет размерность между 1 и 2; фрактальная поверхность (горный рельеф) — размерность между 2 и 3.

Исследование фракталов было связано с практической задачей измерения береговой линии. Фрактальная размерность изрезанного фиордами побережья Норвегии характеризуется значением D около 1,5. Для менее изрезанной береговой линии Англии значение D оказалось равным приблизительно 1,3.

Упрощенно можно представить фрактальную размерность как отношение длины измеряемого контура к длине мерки. Фрактальная размерность является показателем, мерой заполнения пространства фрактальной структурой.

Предшественники современной фрактальной геометрии: К. Вейерштрасс, Ф. Хаусдорф, Г. Кантор, Дж. Пеано, Г. Жюлиа, Х. Кох, В. Серпинский в конце XIX — начале XX веков создали первые графические образы структур, названных впоследствии фрактальными. Эти классические примеры фракталов помогают уяснить их сущность.

Построение дискретного множества Г. Кантора проводится таким образом: из исходного отрезка выбрасывается интервал (одна треть), и эта операция повторяется бесконечно (рис). Фрактальная размерность (топологический инвариант) фрактальной множества Кантора.

D = ln 2 / ln 3 0, 63.

Весьма наглядны такие линейные геометрические фракталы, как линия Коха (рис., генерация которой определяется ломаной линией, заменяющей за один шаг все отрезки фигуры, и треугольник Серпинского (рис.), имеющий фрактальную размерность D = ln 3 / ln 2 1, 58.

Рис. Построение кривой Коха

Фрактальная размерность — топологический инвариант каждой фрактальной структуры, особый вид симметрии — как бы симметрия фрактала относительно масштаба.

Итак, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное, ее размерность — дробная, промежуточная между исходной размерностью линии и двумерного пространства, в котором идет морфогенез фрактала. Точно так же фрактальная плоскость частично выходит в трехмерное пространство; теоретически мыслим и выход трехмерной поверхности в результате ее фрактализации в пространство высшей размерности.

Рис. Построение треугольника Серпинского

Фрактальными (точнее, квазифрактальными) оказались, помимо береговой линии, многие другие природные структуры и процессы: реки с их притоками, молнии, раскаты грома, поверхность гор, облаков, распределение галактик, солнечная активность и т. д. Окружающие нас естественные ландшафты формируются как результат динамического хаоса природных процессов. Фрактальность природных объектов доказывается возможностью построения весьма правдоподобных компьютерных ландшафтов виртуального мира по простым фрактальным программам, в которых подобие реальности достигается рандомизацией, некоторой степенью нерегулярности путем введением случайных чисел. Так, при построении желаемой поверхности виртуальных ландшафтов, с невысокими сглаженными холмами или же гор с остроконечными скальными пиками, применяется метод случайного — в определенных пределах, определяющих степень гладкости ландшафта — смещения средней стороны треугольников, на которых разбивается плоскость.

Помимо виртуальных ландшафтов, применение компьютерных программ дает возможность создания сложнейших, завораживающе красивых или неописуемо фантастических образов, претерпевающих бесконечные метаморфозы. Однако фракталы могут быть и невзрачными, например, хлопьевидные, зернистые, волокнистые и т. п. структуры и агрегаты.

Самоподобие фрактальных структур как результат реитерации функции с обратной связью (самореферентная обратная связь) определяет связь ближнего (локального) и дальнего (глобального) порядков и дает возможность сжатого математического описания структур и процессов, еще недавно недоступных такому описанию и пониманию.

Множества Жюлиа (рис.) и Мандельброта — нелинейные, квадратичные фракталы, комплексные динамические системы, генерируемые бесконечным повторением (итерацией) алгебраических функций или систем функций, причем значение вычисленной функции при следующей операции подставляется как аргумент. Простые математические правила порождают самоподобное относительно нелинейных преобразований, весьма сложное формообразование — это означает, что в основе сложных структур и процессов могут лежать простые правила.

Рис. Примеры множеств Жюлиа

При генерации этих множеств используется простой алгоритм на основе полинома второй степени. Наиболее сложный и интересный фрактальный объект — множество Мандельброта.

Рис. Множество Мандельброта

Формула для вычисления z множества Мандельброта:

c (zІ + 1)І.

———-;

z (zІ - 1)І.

где переменная z и константа c — комплексные числа, состоящие из действительной и мнимой частей (мнимая часть содержит множитель i: квадратный корень из -1). Эти числа отображаются точками на координатной плоскости и экране компьютера, где формируется пространственно-временной образ множества. Компьютер, последовательно вычисляющий значения этих чисел, используется подобно микроскопу, обеспечивая возможность увеличения части изображения за счет дальнейших вычислений компьютера с постоянным уменьшением масштаба. При этом наблюдается воспроизведение одной и той же основной структуры множества Мандельброта (которую разные авторы именуют по-разному: пряничный человек, сердце, черный карлик) с появлением множества копий в разных масштабах, но без полного повторения окружающих структур, без строгого самоподобия, с развертыванием бесконечных вариаций и появлением весьма нетривиальных картин (след. рис.). Множество Мандельброта оказывается и вместилищем изображений множеств Жюлиа.

Таким образом, простой алгоритм построения раскрывается при бесконечном повторении как генератор разнообразных причудливых форм, некоторые из которых напоминают биологические и эффектно выглядят даже в черно-белом статичном изображении, получаемом при последовательных «увеличениях» с помощью компьютера (рис.). Преобразования, происходящие при развертывании множества Мандельброта, можно представить в виде каскада бифуркаций, с последовательным удвоением числа решений и нарастанием неопределенности — невозможности точного прогнозирования положения отдельной точки. Поэтому множество Мандельброта — визуализация образа детерминированного хаоса.

Итак, сложные формы, нередко напоминающие биологические, могут быть созданы без генов, по простому рекурсивному (с обратной связью) алгоритму, выполняющему роль генетических правил.

Рис. Фрагменты множества Мандельброта