Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения

Бабаев Х.

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского

для смешанно-составного уравнения.

РЕФЕРАТ В данной работе для смешанно-составного уравнения ставится и исследуется одна нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность решения изучаемой задачи доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением изучаемой задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.

Библиография 4 названия

Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского

для смешанно-составного уравнения

В первые в работе была поставлена и иcследована нелокальная краевая задача для элиптического уравнения, которая является обобщением задачи Дириxле. В данной работе иcследуется один из аналогов этой задачи для уравнения.

Пусть: Д область ограниченная отрезками OB, BE, AE, OC, AC, прямыx x=0, y=1, x=1, x+y=0, x-y=1, где А, B, O, C, E точки с координатами (1;0), (0;1), (0;0), (;), (1;1) соответственно.

Задача. Найти регулярное в области Д/OА решение уравнения (1) довлетворяющее краевым

(2)

(3)

(4)

(5)

условиям и условиям склеивания

(6)

Гдезадание функции, причемизвестные постоянные; постоянная в удовлетворяет неравенствувнутренняя нормаль.

Любое регулярное решение уравнения (1) в области

представлено в виде

(7)

где z (X, У)-регулярное решение уравнения

(8)

W (y)-дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Без ограничения общности можно предположить, что W (0)=0б W (1)=0, сперва приводим доказательство единственности решения изучаемой задачи.

Теорема. Если то функция U (Х, У)=0 в области Д.

Доказательство. На основании (2), (7) задача редуцируется к определению регулярного решения уравнения (8) при У>0 удовлетворяющего краевым условиям

ц (У)-W (У), Z ()=ц (У)-W (У)

где U (1,У)= ц (У), U ()=ц (У) (9)

Из (6) следует

Учитывая (3) и условие (9) получим:

L ц (x)

общее решение уравнения (1) в области Д={(x, y)Є D, y<0}даётся известной формулой Даламбера

реализуя условие (10) из (11) имеем

ц (x)

или ц (x);

отсюда ц (x+y);

тогда из (11) получим U (X, Y)= ц (X+Y) — (12)

Используя (4) (ш (X)?0) из (12) найдем

цd+ц (13)

дифференцируя выражение (13) имеем

ц+ц=0

разделяя на (x)?0 получим ц (x)+ ц=0 (14)

предпологая имеем: ц (x)-L (x) ц (вx)=0 (15)

функциональное уравнение (15) не имеет нетривиальных решений.

Действительно применяя метод итерации находим

ц (х)=L (х)ц (вx)

ц (вx)=L (вx)· ц ()

ц (вx)=L (вx) ц (вx)

из этих равенств имеем

ц (х)=L (x)L (вx)…L (вx)ц (вx) (16)

(0?x?1)

из (16) следует, что при n>? функция ц (х)?0

Следовательно из (12) получим

U (X, Y)= -(1)+ (X-Y)

Отсюда

Или

Обозначим U (X, 1)=ш (X). тогда условие (5) примет вид

U (x, y)=

Следовательно из (7)

теперь нетрудно убедиться, что функция Z (X, Y) не достигает максимума на линии У=1. Из условий

следует, что Z (X, Y) не достигает максимума (минимума) и на отрезках OB и OA.

Функция Z (Х, Y) не достигает максимума (минимум) и на отрезке АЕ. Действительно, если Z (X, Y) достигает максимума (минимума) на АЕ, то из условия Z (X, Y)=ц (Y)-W (Y)

Следует, что этот максимум (минимум) должен реализоваться и внутри области, что противоречит известным свойствам решений элиптических уравнений.

Итак Z (X, Y)? 0 в области Д, W (Y)? 0 при 0? Y?1. U? 0 и в области Д (Задача Коши).

Таким образом U (X, Y)?0 в области Д.

Теперь переходим к доказательству существования решения изучаемой задачи.

Реализуя условие (3) имеем:

ц (x)+ш (x);

тогда из (11) получим

ц (Х+У)+ш (Х+Y)-(1)+ (X-Y) (18)

используя условие (4) после простых преобразований приходим к функциональному уравнению.

Ц (х)-L (x)ц (вx)=дx (19)

Где д (x)=

Единственное решение функционального уравнения (19) можно найти применением метода итерации.

Таким образом неизвестная функция ц (х) определена единственным образом. Из (18) найдём

U (X, 0)+U (X, 0)=(X) (20)

Где известная функция регулярное в области Д решение уравнения (8) удовлетворяющее краевым

условиям задается формулой [2]:

Отсюда находим (X, 0):

22)

исключая (х, о) из формул (20), (22) для определения V (х) получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода, разрешимость которого следует из единственности решения изучаемой задачи.

Заметим что V (x) содержит неизвестные функции ш (Х), W (У). Подставляя значение V (Х) в формулу (21) и реализуя краевые условия

.Для определения неизвестных функций ш (Х), W (У) имеем систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая однозначно разрешима.

1. Бицадзе А. И., Самарский А. А. о некоторых простейших обобщениях простейших линейных элиптических краевых задач. -Докл. АН СССР, 1969 Т 189, N4, -c.739−740.

2. Базаров Д. О некоторых нелокальных краевых задачах для модельных уравнений уравнений второго порядка. -изв. вузов. Математика, 1990, N3.

3. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979;238с

4. Салахидинов М. С., Толипов А. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной и двумя линиями вырождения. //Дифференциальные уравнения, 1972 г. Т. 8, № 1 c 134−142