Расчет параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго-защемленными концами

«Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опёртым и упруго защемленным концами»

Дано:

L = 7,9 м = 790 см.

q₀ = 33,3 кгс/см

E = 210 000 МПа

J = 7800 см⁴

? = 0.94

1. Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:

EJW^IV (x) = q (x) (1)

После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:

(2)

в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.

2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:

W (0) = 0 (3)

W^II (0) = 0 (4)

На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:

W (L) = 0 (5)

(6)

3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q₀ = const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:

EJW^IV (x) = q ₀, (7)

а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:

(8)

Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:

(9)

(10)

Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что

W (0) = D,

откуда следует, что величина D будет равна: D = 0 (11)

Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что W^II(0)=В, откуда следует, что величина В будет равна: В = 0 (12)

Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что

(13)

Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:

(14)

или ,

откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида

(15)

Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:

(16)

Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.

(17)

значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:

; (18)

(19)

где: ?₀ — определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:

?_А — определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов правой части С₁ и С₂ и коэффициентов при неизвестной величине С:

?_С — определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С₁ и С₂:

Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:

которые после несложных преобразований примут вид:

Тогда, учитывая выражения (18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:

(20)

(21)

в которых введены обозначения:

(22)

(23)

4. Общий интеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:

5. Общий интеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:

(24)

6. Значения изгибающих моментов M(x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:

или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:

(25)

На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментов M(x).

Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки M_пр необходимо в первую очередь определить значение координаты (x_пр) расположения этого изгибающего момента M_пр. Для определения значения координаты (x_пр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):

(26)

Тогда значение координаты (x_пр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значение M_пр, определится из условия:

или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:

Откуда (x_пр) (27)

Тогда экстремальное значение M_пр будет равно:

(28)

Наибольшее значение изгибающий момент M (x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значение M_оп) или при x = x_пр (значение M_пр).

Значение M_оп определим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:

(29)

7. Коэффициент опорной пары ? определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки M_оп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления M_жз:

? (30)

Значение изгибающего момента M_жз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:

(31)

тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары ? упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:

? (32)

Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары ?:

(33)

Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов А^I и С^I при постоянных интегрирования, А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары ?:

(34)

(35)

Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки M_пр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления M_оп будут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары ?:

(36)

(37)

А значение координаты (x_пр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки M_пр в соответствии с формулой (27) определится выражением:

(38)

8. Значения перерезывающих сил N (x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:

которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:

(39)

Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:

(40)

и в районе упругой заделки (при x = L):

(41)

Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение

9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.

В этом случае, исходя из формул (34) и (35)

;

а координата (x_пр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки M_пр в соответствии с формулой (27) будет равна:

или в безразмерном относительном виде:

0.3825

Экстремальное значение изгибающего момента в пролёте балки M_пр и значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления M_оп в соответствии с формулами (25) и (29) будут равны:

M_пр =M (302,175) -3 040 614,03 кг*с*см

2 441 947,28 кг*с*см

Определим значение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основании формулы (40):

N (0) = - 10 062,43 H.

На основании формулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления балки (на правой опоре):

N (L) = 16 244,57 H.

Отметим, что перерезывающая сила N в районе действия экстремального значения изгибающего момента M_пр в пролёте балки имеет нулевое значение:

00 Н.

Приведенные в таблице 1 числовые значения позволяют построить эпюры, показывающие характер распределения по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки таких параметров, как прогиб балки w(х) и действующие на балку изгибающие моменты М (х) и перерезывающие силы N(x).