Расчет переходных процессов в цепи второго порядка

Расчет переходных процессов в цепи второго порядка

Исходная схема в соответствии с вариантом № 18−6 приведена на рис. 1.

Рис. 1

Исходные данные: R₁=0.5kЩ, R₂=0.6kЩ, R₃=0.55kЩ, C₁=3nF, C₂=4nF, L₁=0.9mH, L₂=1.1mH, E=15V.

Переходный режим образуется в цепи в результате двух коммутаций: в момент времени t=0 срабатывает ключ S₁, а при t₁=2ф — ключ S₂.

1. Расчёт цепи с использованием классического метода

1.1 Расчёт параметров во время t=[0, t₁]

Эквивалентная схема для времени t=[0, t₁] представлена на рис. 2.

Рис. 2

Для докоммутационного момента времени t=0;

Переменная состояния u_L(0-)=0

Для послекоммутационной схемы t?0₊

Эквивалентная схема для времени t?0₊ представлена на рис. 3.

Рис. 3

Полная составляющая тока на индуктивности L1

Полная составляющая напряжения

Поскольку сначала ключ был разомкнут, начальные условия вцепи нулевые:

Рассчитаем ток i1 в начальный момент после коммутации.

Схема замещения, соответствующая моменту t = 0+, показана на рис. 3а.

Рис. 3a

Поскольку начальные условия нулевые, индуктивный элемент заменен разрывом.

Из схемы на рис. 3а

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы:

Для свободных составляющих токов эта система имеет вид

После алгебраизации системы получим

Данная система имеет решение, отличное от нулевого решения, если определитель системы равен нулю, т. е.

Раскрывая определитель, получаем характеристическое уравнение первой степени

Вынужденная составляющая тока на индуктивности L₁

Ток в первой ветви

Напряжение на параллельном соединении

Ток во второй ветви

Свободная составляющая тока на индуктивности L₁

Исходя из начальных условий определяем постоянную интегрирования А

Ток на индуктивности L₁

Напряжение на индуктивности L₁

1.2 Расчёт параметров во время t=(t₁,?)

Эквивалентная схема для времени t=(t₁,?)

Рис. 4

Для дальнейшего расчёта принимаем t₁=0.

Для докоммутационного момента времени t=0;

До коммутации (ключ разомкнут) имеем цепь постоянного тока в установившемся режиме (индуктивное сопротивление равно нулю), рис. 4а.

Рис. 4а

Сопротивления и включены параллельно, следовательно

Эквивалентное сопротивление цепи

Ток в первой ветви

Напряжение на параллельном соединении

Ток во второй ветви

Ток в третьей ветви

Из этого получаем независимое начальное условие

Для послекоммутационной схемы t?0₊

Эквивалентная схема для времени t?0₊ представлена на рис. 5.

Рис. 5

Так как в цепи «23» нет сопротивления (принимаем индуктивное сопротивление L₁ и L₂ при постоянном токе равным нулю), то токи через резисторы и не протекают, следовательно токи и равны нулю.

Вынужденная составляющая тока на индуктивности L₂

Токи в ветвях в начальный момент времени

Свободная составляющая тока в цепи

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы:

где

Для характеристического уравнения общее входное сопротивление

Подставляем значения

Свободная составляющая тока в цепи принимает вид

Постоянные интегрирования и

Вынужденная составляющая тока

Полная составляющая тока в цепи

Напряжение на индуктивности

Ток переходного процесса в цепи

Из системы уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы:

Получаем:

Ток переходного процесса в цепи

Из системы уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы:

Ток переходного процесса в цепи

Напряжение на индуктивности

Проверка

1.3 Значения и графики напряжений и токов на индуктивностях при t₁=2ф

Ток и напряжение на индуктивности после комутации

График зависимости напряжения U от времени t на индуктивности до и после комутации

График зависимости тока i от времени t на индуктивности до и после комутации

Для послекоммутационной цепи

Ток и напряжение на индуктивности

График зависимости тока i от времени t на индуктивности до и после комутации

2. Расчёт цепи с использованием операторного метода

2.1 Расчёт параметров во время t=[0, t₁]

цепь напряжение ток индуктивность

Эквивалентная схема для времени t=[0, t₁] представлена на рис. 6.

Рис. 6

Для докоммутационного момента времени t=0;

Переменная состояния

Для послекоммутационной схемы t?0₊

Эквивалентная схема для времени t?0₊ представлена на рис. 7.

Рис. 7

Изображение напряжения на (метод двух узлов)

Подставляем значения

Изображение тока

По закону Ома в операторной форме:

Переход от полученного изображения к оригиналу при помощи формулы разложения

Производная

Подставляя численные значения получим:

Подставляем найденные значения в формулу разложения, получаем оригинал тока

Изображение тока

По закону Ома для участка цепи с ЭДС в операторной форме (второй закон Кирхгофа):

Переход от полученного изображения к оригиналу при помощи формулы разложения

Производная

Подставляя численные значения получим:

Подставляем найденные значения в формулу разложения, получаем оригинал тока

Определение тока

С первого закона Кирхгофа зная токи и :

Напряжение на индуктивности L₁

2.2 Расчёт параметров во время t=[t₁,?]

Эквивалентная схема для времени t=[t₁,?] представлена на рис. 8.

Рис. 8

Для дальнейшего расчёта принимаем t₁=0.

Для докоммутационного момента времени t=0;

Переменная состояния

Переменная состояния и

Следовательно независимое начальное условие

Для послекоммутационной схемы t?0₊

Эквивалентная схема для времени t?0₊ представлена на рис. 9.

Рис. 9

Система уравнений в операторной форме по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы:

Главный определитель системы:

=

;

Начальные условия:

Алгебраические дополнения:

Операторное изображение тока

Алгебраические дополнения:

=

Алгебраические дополнения:

Операторное изображение тока

Переход от полученного изображения к оригиналу при помощи формулы разложения

Определение тока

Корни уравнения

Производная

Значения и при соответствующих корнях

По формуле разложения находим ток

Определение тока

Корни уравнения

Производная

Значения и при соответствующих корнях

По формуле разложения находим ток

Определение тока

Корни уравнения

Производная

Значения и при соответствующих корнях

По формуле разложения находим ток

Определение тока (ток на индуктивности)

С первого закона Кирхгофа зная токи, и :

Напряжение на индуктивности

Напряжение на индуктивности

Полученные результаты совпадают с выражениями, полученными для напряжений в результате применения классического метода. Нахождение токов и построенные графики совпадают с токами и графиками, рассчитанными и построенными в ходе применения классического метода

1. Константинова Е. В., Гафиатулина Е. С. расчет переходных процессов в линейных электрических цепях, Учебное пособие, Издательство ДВГУПС, 680 021, г. Хабаровск

2. В. И. Вепринцев, Г. К. Былкова, В. В. Тюрнев, А. В. Изотов, Ю. П. Саломатов, А. А. Лексиков, Б. А. Беляев, А. М. Сержантов. Основы теории цепей. Версия 1.0 [Электронный ресурс] Сибирский федеральный университет, 2008