Анализ, формализация и декомпозиция задачи

Согласно ТЗ фильтр проектируется на базе ПЛИС EPF10K20RC240−4, рассмотрим ее основные характеристики (таблица 1) [1, стр. 26].

Таблица 1. Характеристики ПЛИС EPF10K20RC240−4.

Математическое описание цифровых фильтров.

Реакция рекурсивного фильтра в некоторый момент времени зависит как от входного воздействия, так и от значений реакции в другие моменты времени и для линейного стационарного физически реализуемого фильтра имеет вид [2].

Схемы цифровых фильтров.

Основными элементами цифрового фильтра являются элементы задержки на один такт T (элементы единичной задержки), сумматор и умножитель. Их характеристики и обозначения даны в таблице 2. Реализация этих элементов может быть различна в зависимости от представления обрабатываемых сигналов.

. По техническому заданию уравнение фильтра имеет следующий вид.

Для M=3:

После применения z-преобразования:

уравнение фильтра примет следующий вид:

Тогда передаточная функция фильтра описывается выражением:

программа цифровой фильтр устройство Это выражение позволяет реализовать прямую форму I фильтра.

Рисунок 1. Прямая форма I.

При этом способе реализации фильтра число задержек=6, число сумматоров=6, число умножителей = 7. Обозначим задержки, вносимые блоком конвейера t_z, умножителем t_m и сумматором t_s. Тогда, с учётом параллельной работы умножителей и блоков конвейера, получаем быстродействие фильтра: t_z+t_m+4*t_s.

Передаточную функцию можно записать иначе:

От перемены мест составляющих передаточной функции ничего не меняется, и этому выражению соответствует прямая форма II фильтра (рисунок 2).

Рисунок 2. Прямая форма II.

В этом случае число задержек=3, число сумматоров=6, число умножителей=7. Несмотря на меньшее число используемых элементов, из-за невозможности параллельной работы всех умножителей быстродействие ухудшается: t_z+2*t_у+4*t_s.

Воспользуемся алгоритмом Горнера для преобразования полинома степени M:

Раскроем знак суммы:

Для M=3 получаем:

Такой записи соответствует транспонированная прямая форма II фильтра (рисунок 3).

Рисунок 3. Транспонированная прямая форма II.

Для этого типа структуры фильтра число задержек=3, число сумматоров=6 (двa сумматорa, расположенные в середине схемы являются трёхвходовыми, поэтому мы их представляем как четыре двухвходовых), число умножителей=7. Данная структура имеет встроенный конвейер и называется конвейерной. По этой причине она является самой быстродействующей из рассмотренных трёх схем: тaкты подаются через t_z+t_m+t_s(и блоки конвейера, и умножители, и сумматоры работают параллельно).

Именно этот тип структуры выбран для проектирования фильтра, так как он легко реализуется при использовании библиотечной LPМ функции (lpm_mult) для описания его звеньев — двухвходовых сумматоров с предшествующим умножителем и последующим блоком конвейера.

Для построения фильтра будем использовать коэффициенты из ТЗ. Они представлены в виде десятичных чисел, но САПР MAX II Plus обрабатывает только целочисленные значения, коэффициенты подлежат округлению. Данную операцию над числами произведем в пакете прикладных программ Matlab версии R2010b. Разрядность коэффициентов должна быть минимальна в целях экономии ресурсов ПЛИС. Чтобы сравнять разрядность коэффициентов a и b, выясним, во сколько раз они расходятся., 2²<<2³. Таким образом, коэффициенты b сдвигаем влево на 2 разряд больше.

В Matlab получим графики АЧХ при различных округлениях. Примем для начала m = 6 n = m-2=4.

Таблица 2. Коэффициенты фильтра Ie0H3−04−06−30−1-11.

На рисунках 4, 5 получены графики АЧХ при различных типах округления и при выбранном типе округлении в полосе пропускания и полосе непропускания.

В таблицу 4 сведем данные по неравномерности АЧХ и затуханию АЧХ и выберем оптимальный тип округления, при котором данные будут соответствовать требованиям ТЗ.

Таблица 3. Неравномерность и затухание АЧХ при различных способах округления.

Рисунок 4. Графики АЧХ фильтра в полосе пропускания.

Рисунок 5. Графики АЧХ в полосе непропускания.

Из таблицы 4 видно, что оптимальным типом округления является с отбрасыванием дробной части (зеленая кривая).

Построим в Matlab графики импульсной и передаточной характеристик (рисунки 6, 7).

Рисунок 6. Импульсная характеристика.

Рисунок 7. Передаточная характеристика.

Отсчеты импульсной и переходной характеристик, построенные в среде Matlab, более точно рассчитаны в программе Microsoft Excel версии 2003 года (таблица 5).

Таблица 5. Значения отсчетов импульсной и переходной характеристик.

В разностном уравнении выравниваем разрядность коэффициентов.

Xnbn_max = 8 +5 = 13 — максимальная разрядность при умножении входных данных на коэффициенты b_i

Ynan_max = 16 + 5 = 21 — максимальная разрядность при умножении выходных данных на коэффициенты a_i

21 — 13 = 8 — разница между разрядностью произведений Xnbn_max и Ynan_max

Запас = 3 — из-за возможности переполнения введём дополнительно 3 разряда.

k = 8 — 3 = 5 — сдвиг коэффициентов числителя для выравнивания разрядностей произведений.

На рисунке 8 изображена карта нулей и полюсов.

Можно сделать вывод, что фильтр является устойчивым по критерию Найквиста, т.к. все полюса лежат внутри окружности.

Рисунок 8. Карта нулей и полюсов.