Двойной маятник. К вопросу моделирования колебательного процесса средствами объектно-ориентированного программирования

Колебания простого маятника имеют регулярный характер. При малых отклонениях от равновесия такие колебания являются гармоническими и описываются функцией синус или косинус. В случае нелинейных колебаний период зависит от амплитуды, но регулярность движения сохраняется. Другими словами, в случае простого маятника приближение малых колебаний вполне отражает существенные свойства системы [10].

В режиме малых колебаний у двойного маятника возникает такое новое явление как эффект биений. А при увеличении энергии характер колебаний маятников меняется принципиально? колебания становятся хаотическими. Несмотря на то, что двойной маятник можно описать системой нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, то есть вполне детерминированной моделью, появление хаоса выглядит очень необычно. Данная ситуация напоминает систему Лоренца, где детерминированная модель из трех уравнений также демонстрирует хаотическое поведение [16].

На рисунке 2 двойной маятник представлен следующим образом: в точке m₁ имеется еще одно шарнирное соединение, к которому подвешивается второй математический маятник (m₂, l₂), вынужденный качаться в той же плоскости. Колебания такой системы носят хаотический характер.

Составление дифференциального уравнения движения двойного маятника в декартовых координатах крайне затруднительно из-за наличия реакций, возникающих в шарнирных соединениях. Подобные задачи решаются составлением уравнений движения для обобщенных координат (уравнения Лагранжа). Дело в том, что задание положения системы точек, скрепленных связями, в декартовых координатах не всегда удобно. Выбор параметров, необходимых для описания положения всех точек механической системы (т.е. обобщенных координат), должен определяться, прежде всего, целесообразностью. Так, например, если силы зависят только от расстояния между частицами, то разумно ввести эти расстояния в уравнения динамики в явном виде, а не через посредство декартовых координат. В нашем случае в качестве обобщенных координат удобно принять углы отклонения каждого из маятников от вертикали (и₁ и и₂) [5].

Рассмотрим последовательность составления уравнений Лагранжа на примере задачи колебаний двойного маятника (без трения):

1) ввести систему отсчета согласно рисунка 2 и выразить декартовы координаты через обобщенные:

и .

2) путем дифференцирования этих равенств получить декартовы составляющие скоростей, выраженные через обобщенные координаты (и₁ и и₂) и обобщенные скорости (и'₁ и и'₂):

и .

Тогда квадраты скоростей каждого маятника:

• 3) декартовы координаты, входящие в формулу потенциальной энергии, заменить на обобщенные:
• 4) скорости, входящие в формулу кинетической энергии, заменить на обобщенные скорости так, что кинетическая энергия в общем случае начинает зависеть не только от обобщенных скоростей, но и от обобщенных координат:
• 5) оставить выражение для функции Лагранжа:

.

6) составить уравнения Лагранжа:

(10).

Первый маятник:

Подставляя полученные выражения в систему уравнений (10), получим уравнение Лагранжа для первого маятника:

.

Второй маятник (уравнение Лагранжа):

.

Выразим вторые производные углов первого и второго маятников и решим их уточненным методом Эйлера.