Уравнения осесимметричной задачи термоупругости для оболочек вращения

Напряженно-деформированное состояние замкнутой в окружном направлении оболочки, нагруженной системой внешних осесимметричных нагрузок и осесимметрично нагретой, описывается системой дифференциальных уравнений:

.

.

(2.1).

.

.

.

где — осевое перемещение точек координатной поверхности оболочки;

— радиальное перемещение точек координатной поверхности оболочки;

— угол поворота нормали к срединной поверхности оболочки;

;; ;

— меридиональный изгибающий момент;

R — радиальное (распорное) усилие в оболочке;

F — осевое усилие в оболочке;

— угол между нормалью и осью вращения;

r — радиус параллельного круга;

— цилиндрическая жёсткость;

Положительные направления внутренних усилий в оболочке и перемещений показаны на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Внутренние усилия и перемещения в оболочке

Система дифференциальных уравнений (2.1) должна удовлетворять граничным условиям.

(2.2).

на торце оболочечной конструкции и граничным условиям.

(2.3).

на торце. Здесь = 0, если заданы кинематические граничные условия и = 1, если заданы статические граничные условия. Набор шести величин, полностью определяет однородные граничные условия на торцах рассматриваемой конструкции.

Для корректной постановки задачи необходимо, по крайней мере, один узловой элемент конструкции закрепить в осевом направлении. При этом на торцы конструкции могут быть наложены как жесткие, так и упругие связи; на остальные узловые элементы конструкции — только упругие связи, Уравнения (2.1) и граничные условия (2.2) и (2.3) составляют математическую модель составной оболочечной конструкции, нагруженной системой внешних осесимметричных нагрузок и осесимметрично нагретой. Решение линейной краевой задачи (2.1) — (2.3) позволяет выполнить полный анализ ее напряженно-деформированного состояния.

Через компоненты, вектора состояния можно выразить остальные компоненты напряженно-деформированного состояния оболочечной конструкции:

§ нормальное меридиональное усилие.

(2.4).

§ нормальное окружное усилие.

(2.5).

§ поперечное усилие.

(2.6).

§ окружной изгибающий момент.

(2.7).

§ перемещение по касательной к меридиану.

(2.8).

§ перемещение по нормали к срединной поверхности (прогиб).

.(2.9).

Обратные соотношения:

(2.10).

(2.11).

(2.12).

.(2.13).

Меридиональные и окружные напряжения в точке, отстоящей на расстояния z от срединной поверхности (рис. 2.1), определяют по формулам:

(2.14).

.(2.15).