Задание на выполнение курсовой работы

• 1. расчет, выполненный в математическом пакете Matlab (R2009b) (файл-функция для описания подынтегральной функции, график функции, решение в символьном и численном виде, вычисление с помощью циклов: четные и не четные варианты).
• 2. Вычисление интеграла в электронных таблицах MS Excel (вид подынтегральной функции, график функции, провести серию расчетов при n = 20, 30: методом левых и правых прямоугольников; методом трапеций и методом Симпсона).
• 3. Создание приложения для нахождения решения интегрального уравнения в среде Delphi (вид подынтегральной функции, график на заданном интервале, для каждого численного метода задать пользовательскую подпрограмму с передачей параметров). Итоговые результаты отобразить на форме в виде таблицы и в файле. Предусмотреть изменение точности значения (Е = 0,001).
• 4. вид уравнения

Теория вычисления интеграла. Описание используемых численных методов

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других технических областях, приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида,.

интеграл математический matlab delphi.

где f (x) — подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [a; b].

Если интеграл от данной функции не может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница,.

или если функция f (x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла существует много численных методов, таких как:

• 1) Метод прямоугольников (правых и левых);
• 2) Трапеций;
• 3) Симпсона и др.

Метод прямоугольников (правых и левых)

Необходимость вычисления значений определенных интегралов при моделировании возникает достаточно часто.

Формула Ньютона-Лейбница.

(1).

имеет ограниченное применение:

во-первых, не позволяет вычислить интегралы от таблично заданной подынтегральной функции f (x);

во-вторых, не всякая подынтегральная функция имеет первообразную F (x).

Численные методы интегрирования универсальны: позволяют вычислить значение определенного интеграла непосредственно по значениям подынтегральной функции f (x), независимо от способа ее задания или вида аналитического выражения.

Геометрический смысл определенного интеграла — площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, кривой f (x), и прямыми x = a и x = b (Рис. 1.).

Численные методы интегрирования основаны на различных способах оценки этой площади, поэтому полученные формулы численного интегрирования называются квадратурными (формулами вычисления площади).

Рассмотрим получение и применение простейших формул.

Отрезок [a, b] делят на n необязательно равных частей — элементарных отрезков. Принято такое деление отрезка называть сеткой, а точки x_о, x₁,…, x_n — узлами сетки.

Рис. 1. Геометрический смысл определённого интеграла

Если сетка равномерная, то.

(1).

— шаг сетки, при интегрировании — шаг интегрирования, а координата i-го узла вычисляется по формуле:

(2).

Полная площадь криволинейной трапеции состоит из n элементарных криволинейных трапеций — элементарных площадей:

Метод правых треугольников

Метод левых прямоугольников.

Метод трапеций является одним из методов численного интегрирования. Он позволяет вычислять определенные интегралы с заранее заданной степенью точности.

Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл, где подынтегральная функция y=f (x) непрерывна на отрезке [a; b].

Разобьем отрезок [a; b] на n равных интервалов длины h точками. В этом случае шаг разбиения находим как и узлы определяем из равенства .

Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках .

Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n):

На каждом отрезке заменим функцию y=f (x) отрезком прямой, проходящей через точки с координатами и. Изобразим их на рисунке синими линиями:

В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение, то есть, примем .

Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. Это позволит понять, почему рассматриваемый метод численного интегрирования называется методом трапеций.

Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями и высотой h, в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниями и высотой h, взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.

Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций, которая состоит в представлении определенного интеграла в виде суммы интегралов вида на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене .

Формула метода трапеций

В силу пятого свойства определенного интеграла .

Если вместо интегралов подставить их приближенные значения, то получится формула метода трапеций:

Оценка абсолютной погрешности метода трапеций.

Абсолютная погрешность метода трапеций оценивается как.

Графическая иллюстрация метода трапеций.

Это более совершенный способ — график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков — столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и нам требуется вычислить определенный интеграл .

Разобьем отрезок [a; b] на n элементарных отрезков длины точками. Пусть точки являются серединами отрезков соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства .

Суть метода парабол.

На каждом интервале подынтегральная функция приближается квадратичной параболой, проходящей через точки. Отсюда и название метода — метод парабол.

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять, который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол.

Геометрически это выглядит так:

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).

Красной линией изображен график функции y=f (x), синей линией показано приближение графика функции y=f (x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.

Вывод формулы метода Симпсона (парабол).

В силу пятого свойства определенного интеграла имеем.

.

Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить.

.

Пусть (мы всегда можем к этому прийти, проведя соответствующее геометрическое преобразования сдвига для любого i = 1, 2,…, n).

Сделаем чертеж.

Покажем, что через точки проходит только одна квадратичная парабола. Другими словами, докажем, что коэффициенты определяются единственным образом.

Так как — точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы.

Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных. Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда, а он отличен от нуля для несовпадающих точек. Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье решение систем линейных алгебраических уравнений), то есть, коэффициенты определяются единственным образом, и через точки проходит единственная квадратичная парабола.

Перейдем к нахождению интеграла.

.

Очевидно:

Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:

Таким образом, можно получить формулу метода парабол:

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид.

.

Оценка абсолютной погрешности метода Симпсона.

Абсолютная погрешность метода Симпсона оценивается как.