Системы счисления. 
Основы информатики

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит системы счисления состоит из символов, которые называются цифрами.

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью цифр.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

Непозиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, чёрточек, точек. Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака. Также люди стремились группировать отметки по 3, 5, 7, 10 штук. Такая группировка облегчала счёт. Люди учились считать не только единицами, но и тройками, пятерками и пр.

Первым вычислительным инструментом у человека были пальцы, поэтому и счёт чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

В дальнейшем своё название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и так далее. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значками — цифрами. Если при подсчёте предметов их оказывалось 2 сотни, 5 десятков и ещё 4 предмета, то при записи этой величины дважды повторяли знак сотни, пять раз — знак десятков и четыре раза знак единицы.

В таких системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает, поэтому они называются непозиционными системами счисления. Непозиционными системами пользовались древние египтяне, греки, римляне и некоторые другие народы древности.

Непозиционные системы счисления — это системы счисления, где величина числа не зависит от места позиции цифры.

До нас дошла римская система записи чисел (римские цифры), которая в некоторых случаях применяется в нумерации (века, тома в собрании сочинений, главы книги).

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для числа 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 используются латинские буквы С, D и М (рис.7).

Рисунок 7. Примеры.

В римской системе счисления количественное значение цифры не зависит от её положения в числе. Например, в римском числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину — число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.

Чтобы записать число в римской СС, необходимо разложить его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII =10+10 + 5 + 1 + 1 + 1 (два десятка, пяток, три единицы).

При записи чисел в римской системе счисления применяется правило: каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него, в остальных случаях знаки складываются.

Например, римское число IX обозначает 9 (-1 + 10), а XI обозначает 11 (10 + 1). Число 99 имеет следующее представление в римской системе счисления:

XCIX = -10 + 100 — 1 + 10.

На Руси вплоть до XVIII века использовалась непозиционная система славянских цифр. Буквы кириллицы (славянского алфавита) имели цифровое значение, если над ними ставился специальный знак — титло. Например, А — 1, Д — 4, Р — 100.

Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но слева внизу у них ставился специальный знак, например:

Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем неудобны при умножении и делении.

Позиционные системы

Позиционные системы счисления — это системы счисления, где величина числа зависит от места позиции цифры. Позиция цифры в числе называется разрядом.

Количество используемых цифр называется основанием позиционной СС. Разряды числа возрастают справа налево, от младших разрядов к старшим. За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число, большее 1.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Её основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Хотя десятичную систему принято называть арабской, но зародилась она в Индии в V веке. В Европе об этой системе узнали в XII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь. Этим и объясняется название «арабские цифры». Однако широкое распространение в науке и в обиходе десятичная позиционная система получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические вычисления, записывать числа любой величины. Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается в числе трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья — пять сотен.

Число 555 было записано в свёрнутой форме. В развёрнутой форме запись числа будет выглядеть следующим образом:

555₁₀ = 5*10² + 5*10¹ + 5*10°.

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 555,55 в развёрнутой форме будет записываться следующим образом:

555,55₁₀ = 5*10² + 5*10¹ + 5*10°+ 5*10^-1 + 5*10^-2

Числа в двоичной системе в развёрнутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Первая позиционная система счисления была придумана ещё в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, т. е. в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание 60 (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут).

В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная СС. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и т. д.

В информатике широко используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. В восьмеричной системе основание равно 8 и алфавит состоит из восьми цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Запишем восьмеричное число 77 в свёрнутой и развёрнутой формах и переведём его в десятичную систему счисления:

77₈ = 7*8¹ + 7*8° = 6310.

В шестнадцатеричной системе основание равно 16 и алфавит состоит из шестнадцати цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, причем первые десять цифр имеют общепринятое обозначение, а для записи остальных цифр {10, 11, 12, 13, 14, 15} используются первые шесть букв латинского алфавита. Запишем шестнадцатеричное число в свёрнутой и развёрнутой формах и переведём его в десятичную систему счисления:

ABCDEF₁₆ = А*16⁵ + В*16⁴ + C*16³ + D*16² + Е*16¹ + F*16° = 10*165+ 11*164 + 12*163 + 13*162+ 14*161+ 15*16° = 11 259 37 510.

Вот примеры алфавитов нескольких систем.

Основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу.

101 101₂, 3671₈, 3B8F₁₆.